Quan hệ chia hết và tính chất

I. Phép chia hết

Khi nào thì a chia hết cho b?

Cho hai số tự nhiên \(a\)\(b,\) trong đó \(b \ne 0,\) nếu có số tự nhiên \(x\) sao cho \(b.x = a\) thì ta nói \(a\) chia hết cho \(b\) và ta có phép chia hết \(a:b = x\), kí hiệu là \(a \vdots b\).

Ví dụ:

Thực hiện phép chia sau: 1560:15

II. Phép chia có dư

Cho hai số tự nhiên \(a\)\(b\), trong đó \(b \ne 0\). Ta luôn tìm được đúng hai số tự nhiên \(q\)\(r\) sao cho \(a = b.q + r\), trong đó \(0 \le r < b\). Ta gọi \(q\)\(r\) lần lượt là thương và số dư trong phép chia \(a\) cho \(b\).

- Nếu \(r = 0\), tức là \(a = b.q\), ta nói \(a\) chia hết cho \(b\), kí hiệu \(a \vdots b\).

- Nếu \(r \ne 0\), ta nói \(a\) không chia hết cho \(b\), kí hiệu \(a\not  \vdots b\).

Ví dụ: Viết kết quả của phép chia \(144:13\) dưới dạng \(a = b.q + r\)

Ta có:

\(a = 144,b = 13,q = 11,r = 1\)

 

Vậy \(144 = 13.11 + 1\)

III. Ước và bội

- Nếu có số tự nhiên \(a\) chia hết cho số tự nhiên \(b\) thì ta nói \(a\)bội của \(b,\) còn \(b\)ước của \(a.\)

- Kí hiệu: Ư\(\left( a \right)\) là tập hợp các ước của \(a\)\(B\left( b \right)\) là tập hợp các bội của \(b\).

- Với \(a\) là số tự nhiên khác 0 thì:

 + \(a\) là ước của \(a\)

 + \(a\) là bội của \(a\)

 + 0 là bội của \(a\)

 + 1 là ước của \(a\)

Ví dụ : \(12 \vdots 6 \Rightarrow 12\) là bội của \(6.\) Còn \(6\) được gọi là ước của \(12\)

0 và 12 là bội của 12

1 và 12 là các ước của 12.

IV. Cách tìm ước

Ta có thể tìm các ước của \(a\)\(\left( {a > 1} \right)\)  bằng cách lần lượt chia \(a\) cho các số tự nhiên từ \(1\) đến \(a\) để xét xem \(a\) chia hết cho những số nào, khi đó các số ấy là ước của \(a.\)

Ví dụ:

16:1=16; 16:2=8; 16:4=4; 16:8=2; 16:16=1

Vậy các ước của 16 là 1;2;4;8;16.

Tập hợp các ước của 16 là:  Ư\(\left( {16} \right) = \left\{ {1;2;4;8;16} \right\}\)

V. Cách tìm bội

Ta có thể tìm các bội của một số tự nhiên \(a\) khác \(0\) bằng cách nhân số đó lần lượt với \(0,1,2,3,...\)

Chú ý:

Bội của \(a\) có dạng tổng quát là \(a.k\) với \(k \in \mathbb{N}\). Ta có thể viết:

\(B\left( a \right) = \left\{ {a.k\left| {k \in \mathbb{N}} \right.} \right\}\)

Ví dụ:

Ta lấy 6 nhân với từng số 0 thì được 0 nên 0 là bội của 6, lấy 6.1=6 nên 6 là bội của 6, 6.2=12 nên 12 là bội của 6,...

Vậy \(B\left( 6 \right) = \left\{ {0;6;12;18;...} \right\}\)

VI. Tính chất chia hết của một tổng

- Tính chất 1: Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.

\(a \vdots m\) và \(b \vdots m\) \( \Rightarrow \left( {a + b} \right) \vdots m\)

\(a \vdots m\) và \(b \vdots m\) \( \Rightarrow \left( {a - b} \right) \vdots m\)    với \(\left( {a \ge b} \right)\)

\(a \vdots m;b \vdots m;c \vdots m \Rightarrow \left( {a + b + c} \right) \vdots m\)

- Tính chất 2: Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số, còn các số hạng khác đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó.

\(a \vdots m\) và \(b\not  \vdots m\)

\(a \vdots m\) và \(b\not  \vdots m\)\( \Rightarrow \left( {a + b} \right)\not  \vdots m\)

\(a \vdots m\) và \(b\not  \vdots m\)\( \Rightarrow \left( {a - b} \right)\not  \vdots m\)          với \(\left( {a \ge b} \right)\)

\(a\not  \vdots m\) và \(b \vdots m\)\( \Rightarrow \left( {a - b} \right)\not  \vdots m\)          với \(\left( {a \ge b} \right)\)

\(a\not  \vdots m;\,b \vdots m;\,c \vdots m \Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\not  \vdots m\)

Lưu ý:

Nếu \(a\not  \vdots m\)\(b\not  \vdots m\) thì chưa chắc \(\left( {a + b} \right)\not  \vdots m\)\(\left( {a - b} \right)\not  \vdots m\)

Chẳng hạn, \(12\not  \vdots 5\)\(13\not  \vdots 5\) nhưng \(\left( {12 + 13} \right) = 25 \vdots 5\)

\(16\not  \vdots 5\)\(1\not  \vdots 5\) nhưng \(\left( {16 - 1} \right) = 15 \vdots 5\)

Luyện bài tập vận dụng tại đây!