Cộng, trừ các phân thức

1. Các kiến thức cần nhớ

Cộng (trừ) hai phân thức cùng mẫu thức

Quy tắc: Muốn cộng (trừ) hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng (trừ) các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

\(\dfrac{A}{B} + \dfrac{C}{B} = \dfrac{{A + C}}{B}\,\,\left( {B \ne 0} \right)\) ; \(\dfrac{A}{B} - \dfrac{C}{B} = \dfrac{{A - C}}{B}; \left( {B \ne 0} \right).\)

Ví dụ: 

a) \(\dfrac{{5x}}{{x - 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} = \dfrac{{5x + x + 1}}{{x - 1}} = \dfrac{{6x + 1}}{{x - 1}}\)

b) \(\dfrac{{5x}}{{x - 1}} - \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} = \dfrac{{5x - \left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}} = \dfrac{{5x - x - 1}}{{x - 1}} = \dfrac{{4x - 1}}{{x - 1}}\)

Cộng (trừ) hai phân thức có mẫu thức khác nhau

Quy tắc: Muốn cộng (trừ) hai phân thức có mẫu thức khác nhau ta quy đồng mẫu thức các phân thức rồi cộng (trừ) các phân thức có cùng mẫu vừa tìm được.

Ví dụ:  \(\dfrac{3}{x} + \dfrac{5}{{x - 1}} \)\(= \dfrac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)}} + \dfrac{{5x}}{{x\left( {x - 1} \right)}} \)\(= \dfrac{{3x - 3 + 5x}}{{x\left( {x - 1} \right)}} \)\(= \dfrac{{8x - 3}}{{x\left( {x - 1} \right)}}\)

Các tính chất của phép cộng và phép trừ các phân thức

+ Giao hoán: \(\dfrac{A}{B} + \dfrac{C}{D} = \dfrac{C}{D} + \dfrac{A}{B}\)

+ Kết hợp:

\(\left( {\dfrac{A}{B} + \dfrac{C}{D}} \right) + \dfrac{E}{F} \)\(= \dfrac{A}{B} + \left( {\dfrac{C}{D} + \dfrac{E}{F}} \right)\)

+ Đổi dấu: \( - \dfrac{A}{B} = \dfrac{{ - A}}{B} = \dfrac{A}{{ - B}}\) ; \( - \dfrac{{ - A}}{B} = \dfrac{A}{B}\)

Chú ý:

Đối với phép trừ ta có thể thực hiện theo quy tắc: Muốn trừ phân thức \(\dfrac{A}{B}\) cho phân thức \(\dfrac{C}{D}\) ta cộng \(\dfrac{A}{B}\) với phân thức đối của \(\dfrac{C}{D}\) nghĩa là \(\dfrac{A}{B} - \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} + \dfrac{{ - C}}{D}\) .

Ví dụ: 

\(\dfrac{3}{x} - \dfrac{5}{{x - 1}} = \dfrac{3}{x} + \dfrac{{ - 5}}{{x - 1}} = \dfrac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)}} + \dfrac{{ - 5x}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{{3x - 3 - 5x}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{{ - 2x - 3}}{{x\left( {x - 1} \right)}}\).

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Thực hiện phép tính

Phương pháp:

Sử dụng các quy tắc cộng (trừ) các phân thức và các tính chất trên.

Ta có thể làm theo các bước sau:

Bước 1: Quy đồng mẫu thức.

Bước 2: Thực hiện phép cộng (trừ) các phân thức cùng mẫu: Cộng hoặc trừ tử với tử, mẫu chung giữa nguyên.

Bước 3: Phân tích tử số thành nhân tử để rút gọn phân thức ( nếu có thể).

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức tại giá trị cho trước của biến.

Phương pháp:

Bước 1: Rút gọn biểu thức ( bằng cách thực hiện các phép cộng trừ các phân thức)

Bước 2: Thay giá trị cho trước của biến vào biểu thức và thực hiện phép tính.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!