Căn thức bậc hai

I. Sơ đồ tư duy Căn thức bậc hai

II. Căn thức bậc hai

1. Các kiến thức cần nhớ

Căn bậc hai số học

Số dương a có đúng hai căn bậc hai là: $\sqrt a $ và $-\sqrt a $

Với số dương $a$, số $\sqrt a $ được gọi là căn bậc hai số học của $a$.

Số $0$ cũng được gọi là căn bậc hai số học của $0$.

+) $\sqrt a  = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = a\end{array} \right.$

+) So sánh hai căn bậc hai số học:

Với hai số $a,b$ không âm ta có $a < b \Leftrightarrow \sqrt a< \sqrt b $.

Căn thức bậc hai

Với $A$ là một biểu thức đại số, người ta gọi $\sqrt A $ là căn thức bậc hai của $A$. Khi đó, $A$ được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.

$\sqrt A $ xác định hay có nghĩa khi $A$ lấy giá trị không âm.

Hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|$  

Với mọi số $a$, ta có $\sqrt {{a^2}}  = \left| a \right|$.

Một cách tổng quát, với $A$ là một biểu thức ta có

$\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|$ nghĩa là

$\sqrt {{A^2}}  = A$ nếu $A \ge 0$ và $\sqrt {{A^2}}  =  - A$ nếu $A < 0$.

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm căn bậc hai số học và so sánh hai căn bậc hai.

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức với hai số $a,b$ không âm ta có $a < b \Leftrightarrow \sqrt a  < \sqrt b $.

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức chứa căn bậc hai

Phương pháp:

Sử dụng hằng đẳng thức  $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,A\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\end{array} \right.$

Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Phương pháp:

- Đưa các biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức  (thông thường là ${\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$, ${\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}$)

- Sử dụng hằng đẳng thức  $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,A\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\end{array} \right.$

Dạng 4: Tìm điều kiện để biểu thức chứa căn bậc hai có nghĩa

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức biểu thức $\sqrt A $ có nghĩa khi và chỉ khi $A \ge 0.$

Dạng 5: Giải phương trình chứa căn bậc hai

Phương pháp:

Ta chú ý một số phép biến đổi tương đương liên quan đến căn thức bậc hai sau đây:

\(\sqrt A  = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A = {B^2}\end{array} \right.\) ;                                         \(\sqrt {{A^2}}  = B \Leftrightarrow \left| A \right| = B\)

\(\sqrt A  = \sqrt B  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \ge 0\left( { B \ge 0} \right)\\A = B\end{array} \right.\) ;                      \(\sqrt {{A^2}}  = \sqrt {{B^2}}  \Leftrightarrow \left| A \right| = \left| B \right| \Leftrightarrow A =  \pm B\)

Luyện bài tập vận dụng tại đây!