Hệ phương trình đối xứng

1. Các kiến thức cần nhớ

a. Hệ phương trình đối xứng loại $1$

+ Một hệ phương trình ẩn $x,y$ được gọi là hệ phương trình đối xứng loại $1$  nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của $x,y$ cho nhau thì phương trình đó không đổi .

+ Tính chất: Nếu $\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ là một nghiệm thì hệ $\left( {{y_0},{x_0}} \right)$ cũng là nghiệm.

+ Cách giải:

Đặt  \(\left\{ \begin{array}{l}S = x + y\\P = x.y\end{array} \right.\) điều kiện \({S^2} \ge 4P\) quy hệ phương trình về $2$  ẩn \(S,P\).

Chú ý:Trong một số hệ phương trình đôi khi tính đối xứng chỉ thể hiện trong một phương trình. Ta cần dựa vào phương trình đó để tìm quan hệ \(S,P\) từ đó suy ra quan hệ \(x,y\).

Ví dụ:  Giải hệ phương trình  $\left\{ \begin{array}{l}x + y + xy = 5\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.$

Giải: 

+ Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + xy = 5\\{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = 5\end{array} \right.\)

+ Đặt \(S = x + y;P = xy\) ta được hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}S + P = 5\\{S^2} - 2P = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = 5 - S\\{S^2} - 2\left( {5 - S} \right) = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = 5 - S\\{S^2} + 2S - 15 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = 5 - S\\\left[ \begin{array}{l}S = 3\\S =  - 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}S = 3\\P = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}S =  - 5\\P = 10\end{array} \right.\end{array} \right.\)  mà \({S^2} \ge 4P\) nên \(S = 3;P = 2\)

+ Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}xy = 2\\x + y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - x\\x\left( {3 - x} \right) - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - x\\{x^2} - 3x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1;y = 2\\x = 2;y = 1\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm $(1;2), (2;1)$

b. Phương trình đối xứng loại $2$

Một hệ phương trình $2$ ẩn \(x,y\) được gọi là đối xứng loại $2$  nếu trong hệ phương trình ta đổi vai trò \(x,y\) cho nhau thì phương trình trở thành phương trình kia.

+ Tính chất.: Nếu \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là 1 nghiệm của hệ thì \(\left( {{y_0};{x_0}} \right)\) cũng là nghiệm

+ Cách giải:

Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình có dạng

\(\left( {x - y} \right)\left[ {f\left( {x;y} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y = 0\\f\left( {x;y} \right) = 0\end{array} \right.\).

Ví dụ: Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 3x - y\\{y^2} = 3y - x\end{array} \right.$

Giải: 

Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 3x - y\\{y^2} = 3y - x\end{array} \right.$\( \Rightarrow {x^2} - {y^2} = 4x - 4y\)\( \Rightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 1} \right) = 0\)

Khi \(x = y\) thì \({x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = 2\)

Khi \(y = 4 - x\) thì \({x^2} - 4x + 4 = 0\) \( \Leftrightarrow x = 2\)

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm \(\left( {0;0} \right),\left( {2;2} \right)\).

c. Hệ có yếu tố đẳng cấp

+ Là những hệ chứa các phương trình đẳng cấp

+ Hoặc các phương trình  của hệ khi nhân hoặc chia cho nhau thì tạo ra phương trình đẳng cấp.

Ta thường gặp dạng hệ này ở các hình thức như:

+ \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bxy + c{y^2} = d\\{\rm{e}}{{\rm{x}}^2} + gxy + h{y^2} = k\end{array} \right.\) ,

+ \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bxy + c{y^2} = dx + ey\\{\rm{g}}{{\rm{x}}^2} + hxy + k{y^2} = lx + my\end{array} \right.,\)

+ \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bxy + c{y^2} = d\\{\rm{g}}{{\rm{x}}^3} + h{x^2}y + kx{y^2} + l{y^3} = mx + ny\end{array} \right.\)…

Một số hệ phương trình tính đẳng cấp được giấu trong các biểu thức chứa căn đòi hỏi người giải cần tinh ý để phát hiện:

+ Cách giải :

Từ các phương trình của hệ ta nhân hoặc chia cho nhau để tạo ra phương trình đẳng cấp bậc \(n\): \({a_1}{x^n} + {a_k}{x^{n - k}}.{y^k}.... + {a_n}{y^n} = 0\)

Từ đó ta xét hai trường hợp:

+ \(y = 0\) thay vào để tìm \(x\)

+ \(y \ne 0\) ta đặt \(x = ty\) thì thu được phương trình: \({a_1}{t^n} + {a_k}{t^{n - k}}.... + {a_n} = 0\)

+ Giải phương trình tìm \(t\) sau đó thế vào hệ ban đầu để tìm \(x,y\).

Chú ý: Ta cũng có thể đặt \(y = tx\).

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Giải hệ phương trình

Phương pháp:

Ta dùng các cách giải của hệ phương trình đối xứng loại 1, hệ đối xứng loại 2 và hệ phương trình có yếu tố đẳng cấp

Dạng 2: Xét xem cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) có là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}y = f\left( x \right)\\y = g\left( x \right)\end{array} \right.\)  hay không?

Phương pháp:

\(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}y = f\left( x \right)\\y = g\left( x \right)\end{array} \right.\)khi \(\left\{ \begin{array}{l}{y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\\{y_0} = g\left( {{x_0}} \right)\end{array} \right.\)

Dạng 3: Tìm tham số \(m\) để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp:

Ta sử dụng linh hoạt các phương pháp giải hệ phương trình đã học để giải bài toán.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!