Liên hệ phép nhân, phép chia với phép khai phương

I. Sơ đồ tư duy Liên hệ giữa phép nhân phép chia và phép khai phương

II. Liên hệ giữa phép nhân, phép chia với phép khai phương

1. Các kiến thức cần nhớ

Định lý

Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab}  = \sqrt a .\sqrt b $.

Với hai biểu thức $A,B$ không âm ta có $\sqrt {A.B}  = \sqrt A .\sqrt B $

Đặc biệt với biểu thức $A$ không âm ta có ${\left( {\sqrt A } \right)^2} = \sqrt {{A^2}}  = A$

Ví dụ: \(\sqrt {9.16} = \sqrt 9 .\sqrt {16} = \sqrt {{3^2}} .\sqrt {{4^2}} = 3.4 = 12\)

Định lý

Với số $a$ không âm và số $b$ dương , ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}}  = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$.

Với biểu thức $A$ không âm và biểu thức $B$ dương ta có $\sqrt {\dfrac{A}{B}}  = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$

Ví dụ: \(\sqrt {\dfrac{9}{4}} = \dfrac{{\sqrt 9 }}{{\sqrt 4 }} \)\(= \dfrac{{\sqrt {{3^2}} }}{{\sqrt {{2^2}} }} = \dfrac{3}{2}\)

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Thực hiện phép tính

Phương pháp:

Áp dụng công thức khai phương một tích và khai phương một thương

Với hai biểu thức $A,B$ không âm ta có $\sqrt {A.B}  = \sqrt A .\sqrt B $

Với biểu thức $A$ không âm và biểu thức $B$ dương ta có $\sqrt {\dfrac{A}{B}}  = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$

Dạng 2: Rút gọn biểu thức

Phương pháp:

-Áp dụng công thức khai phương một tích và khai phương một thương

Với hai biểu thức $A,B$ không âm ta có $\sqrt {A.B}  = \sqrt A .\sqrt B $

Với biểu thức $A$ không âm và biểu thức $B$ dương ta có $\sqrt {\dfrac{A}{B}}  = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$

-Áp dụng hằng đẳng thức  $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|$.

Dạng 3: Giải phương trình

Phương pháp:

Sử dụng công thức khai phương một tích và khai phương một thương để đưa phương trình đã cho về các dạng quen thuộc

*\(\sqrt A  = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A = {B^2}\end{array} \right..\)    

* $\sqrt A  = \sqrt B  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\,\,({\rm{hay}}\,A \ge 0)\\A = B\end{array} \right.$

Luyện bài tập vận dụng tại đây!