Liên hệ giữa phép nhân, phép chia với phép khai phương

1. Các kiến thức cần nhớ

Định lý

Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab}  = \sqrt a .\sqrt b $.

Với hai biểu thức $A,B$ không âm ta có $\sqrt {A.B}  = \sqrt A .\sqrt B $

Đặc biệt với biểu thức $A$ không âm ta có ${\left( {\sqrt A } \right)^2} = \sqrt {{A^2}}  = A$

Ví dụ: \(\sqrt {9.16} = \sqrt 9 .\sqrt {16} = \sqrt {{3^2}} .\sqrt {{4^2}} = 3.4 = 12\)

Định lý

Với số $a$ không âm và số $b$ dương , ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}}  = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$.

Với biểu thức $A$ không âm và biểu thức $B$ dương ta có $\sqrt {\dfrac{A}{B}}  = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$

Ví dụ: \(\sqrt {\dfrac{9}{4}} = \dfrac{{\sqrt 9 }}{{\sqrt 4 }} \)\(= \dfrac{{\sqrt {{3^2}} }}{{\sqrt {{2^2}} }} = \dfrac{3}{2}\)

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Thực hiện phép tính

Phương pháp:

Áp dụng công thức khai phương một tích và khai phương một thương

Với hai biểu thức $A,B$ không âm ta có $\sqrt {A.B}  = \sqrt A .\sqrt B $

Với biểu thức $A$ không âm và biểu thức $B$ dương ta có $\sqrt {\dfrac{A}{B}}  = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$

Dạng 2: Rút gọn biểu thức

Phương pháp:

-Áp dụng công thức khai phương một tích và khai phương một thương

Với hai biểu thức $A,B$ không âm ta có $\sqrt {A.B}  = \sqrt A .\sqrt B $

Với biểu thức $A$ không âm và biểu thức $B$ dương ta có $\sqrt {\dfrac{A}{B}}  = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$

-Áp dụng hằng đẳng thức  $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|$.

Dạng 3: Giải phương trình

Phương pháp:

Sử dụng công thức khai phương một tích và khai phương một thương để đưa phương trình đã cho về các dạng quen thuộc

*\(\sqrt A  = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A = {B^2}\end{array} \right..\)    

* $\sqrt A  = \sqrt B  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\,\,({\rm{hay}}\,A \ge 0)\\A = B\end{array} \right.$

Luyện bài tập vận dụng tại đây!