Nhắc lại và bổ sung khái niệm về hàm số và đồ thị hàm số

1. Các kiến thức cần nhớ

Khái niệm hàm số

+) Nếu đại lượng $y$ phụ thuộc vào đại lượng thay đổi $x$ sao cho với mỗi giá trị của $x$, ta luôn xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng của $y$ thì $y$ gọi là hàm số của $x$ ($x$ gọi là biến số).
Ta viết : $y = f\left( x \right)$, $y = g\left( x \right)$, …

+) Giá trị của hàm số $f\left( x \right)$ tại điểm ${x_0}$ kí hiệu là $f\left( {{x_0}} \right)$.

+) Tập xác định $D$ của hàm số $f\left( x \right)$ là tập hợp các giá trị của $x$ sao cho $f\left( x \right)$ có nghĩa.

+) Khi $x$ thay đổi mà $y$ luôn nhận một giá trị không đổi thì hàm số $y = f\left( x \right)$ gọi là hàm hằng.

Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right)$ là tập hợp tất cả các điểm $M\left( {x;y} \right)$ trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ sao cho $x,{\rm{ }}y$ thỏa mãn hệ thức $y = f\left( x \right)$

Hàm số đồng biến, nghịch biến
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên tập $D$. Khi đó :
- Hàm số đồng biến trên $D $ $\Leftrightarrow \forall {x_1},{x_2} \in D:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$
- Hàm số nghịch biến trên $D$ $ \Leftrightarrow \forall {x_1},{x_2} \in D:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1 : Tính giá trị của hàm số tại một điểm

Phương pháp:

Để tính giá trị ${y_0}$ của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm ${x_0}$ ta thay $x = {x_0}$ vào $f\left( x \right)$, ta được ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$.

Dạng 2 : Biểu diễn tọa độ của một điểm và xác định điểm thuộc đồ thị hàm số

Phương pháp:

Điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ khi ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$

Dạng 3 :  Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Phương pháp:

Bước 1: Tìm tập xác định $D$ của hàm số.

Bước 2: Giả sử ${x_1} < {x_2}$ và ${x_1},{x_2} \in D$. Xét hiệu $H = f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)$.

+ Nếu $H < 0$ với ${x_1},{x_2}$ bất kỳ thì hàm số đồng biến.

+ Nếu $H > 0$ với ${x_1},{x_2}$ bất kỳ thì hàm số nghịch biến.

Dạng 4 : Bài toán liên quan đến đồ thị hàm số $y = ax\left( {a \ne 0} \right)$

Phương pháp:

+) Đồ thị hàm số dạng $y = ax{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O$ và điểm $E\left( {1;a} \right)$.

+) Cho hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$ và $B\left( {{x_B};{y_B}} \right)$. Khi đó độ dài đoạn thẳng $AB$ được tính theo công thức:$AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} $.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!