Ôn tập chương 5: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1. Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Khi đó ta có các hệ thức sau:

+) $A{B^2} = BH.BC$ hay ${c^2} = a.c'$

+) $A{C^2} = CH.BC$ hay ${b^2} = ab'$

+) $AB.AC = BC.AH$ hay $cb = ah$

+) $H{A^2} = HB.HC$ hay ${h^2} = c'b'$

+) $\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$ hay $\dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}$.

+) $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$ (Định lí Pitago).

2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn \(\alpha \) (hình) được định nghĩa như sau:

\(\sin \alpha  = \dfrac{{AB}}{{BC}};\cos \alpha  = \dfrac{{AC}}{{BC}};\tan \alpha  = \dfrac{{AB}}{{AC}};\cot \alpha  = \dfrac{{AC}}{{AB}}\)

+ Nếu \(\alpha \) là một góc nhọn bất kỳ  thì

\(0 < \sin \alpha  < 1;0 < \cos \alpha  < 1\), \(\tan \alpha  > 0;\cot \alpha  > 0\) ,  \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1;\tan \alpha .\cot \alpha  = 1\)

$\tan \alpha  = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};$$\cot \alpha  = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }};$

$1 + {\tan ^2}\alpha  = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }};$$1 + {\cot ^2}\alpha  = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}$

Chú ý: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Với hai góc \(\alpha ,\beta \) mà \(\alpha  + \beta  = {90^0}\),

Ta có: \(\sin \alpha  = \cos \beta ;\cos \alpha  = \sin \beta ;\tan \alpha  = \cot \beta ;\cot \alpha  = \tan \beta. \)

Nếu hai góc nhọn \(\alpha \) và \(\beta \) có \(\sin \alpha  = \sin \beta \) hoặc \(\cos \alpha  = \cos \beta \) thì \(\alpha  = \beta \)

So sánh các tỉ số lượng giác

Với \(\alpha ;\beta \)  là hai góc nhọn bất kì và \(\alpha  < \beta \) thì

\(\sin \alpha  < \sin \beta ;\,\cos \alpha  > \cos \beta ;\tan \alpha  < \tan \beta ;\cot \alpha  > \cot \beta .\)

3. Bảng tỉ số lượng giác các góc đặc biệt

4. Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = a,AC = b,AB = c.\) Ta có :

\(b = a.\sin B = a.\cos C\); \(c = a.\sin C = a.\cos B\); \(b = c.\tan B = c.\cot C\); \(c = b.\tan C = b.\cot B.\)

Trong một tam giác vuông

+) Cạnh  góc vuông  = (cạnh huyền ) x (sin góc đối)  = (cạnh huyền ) x (cosin góc kề)

+) Cạnh  góc vuông  = (cạnh góc vuông ) x (tan  góc đối)  = (cạnh góc vuông còn lại ) x (cotan  góc kề).

Luyện bài tập vận dụng tại đây!