Phương trình bậc hai một ẩn và công thức nghiệm

1. Các kiến thức cần nhớ

Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn

- Phương trình bậc hai một ẩn ( hay gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng: $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$

Trong đó  $a,b,c$ là các số thực cho trước, $x$ là ẩn số.

- Giải phương trình bậc hai một ẩn là đi tìm tập nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn đó.

Công thức nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$

Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$

và biệt thức $\Delta  = {b^2} - 4ac$.

TH1. Nếu $\Delta  < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

TH2. Nếu  $\Delta  = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} =  - \dfrac{b}{{2a}}$.

TH3. Nếu $\Delta  > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1}} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}}$, ${x_{2}} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}}$.

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng  1: Nhận dạng phương trình bậc hai một ẩn

Phương pháp:

Phương trình bậc hai một ẩn ( hay gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:

$a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ trong đó  $a,b,c$ là các số thực cho trước, $x$ là ẩn số.

Dạng 2: Giải phương trình bậc hai một ẩn không dùng công thức nghiệm

Phương pháp:

Ta thường sử dụng các cách sau:

Cách 1: Đưa phương trình đã cho về dạng vế trái là một bình phương, vế còn lại là một số hoặc một bình phương.

Cách 2: Đưa phương trình về dạng phương trình tích.

Dạng 3: Giải phương trình bậc hai một ẩn bằng cách sử dụng công thức nghiệm.

Phương pháp:

Xét phương trình bậc hai: $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$

Bước 1: Xác định các hệ số  $a,b,c$ và tính biệt thức $\Delta  = {b^2} - 4ac$

Bước 2: Kết luận

- Nếu $\Delta  < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

-  Nếu  $\Delta  = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} =  - \dfrac{b}{a}$

- Nếu $\Delta  > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}};{x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}}$.

Dạng 4: Xác định số nghiệm của phương trình bậc hai

Phương pháp:

Xét phương trình bậc hai: $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$

1. PT có nghiệm kép $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  = 0\end{array} \right.$

2. PT có hai nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  > 0\end{array} \right.$

3. PT vô nghiệm $ \Leftrightarrow a \ne 0;\,\Delta  < 0$.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!