Rút gọn biểu thức chứa căn

1. Các kiến thức cần nhớ

Để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, ta cần sử dụng thích hợp các phép biến đổi đơn giản đã học như: đưa thừa số vào trong dấu căn, đưa thừa số ra ngoài dấu căn… để xuất hiện các nhân tử chung.

Ví dụ:

Rút gọn biểu thức \(B = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x  + 2}}\) với \(x \ge 0;\,\,x \ne 4.\)

Ta có 

\(\begin{array}{l}B = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x  + 2}} \\= \dfrac{x}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} + \dfrac{1}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x  + 2}}\\ = \dfrac{x}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\\= \dfrac{{x + \sqrt x  + 2 + \sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} \\= \dfrac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\= \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} \\= \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}.\end{array}\)

Vậy $B= \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}$ với \(x \ge 0;\,\,x \ne 4.\)

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Rút gọn và tính giá trị biểu thức chứa căn thức bậc hai.

Phương pháp:

- Vận dụng linh hoạt các phép biến đổi đã biết và tính toán để xuất hiện các căn thức có cùng biểu thức dưới dấu căn
-Cộng, trừ, nhân, chia các căn thức bậc hai cùng loại với nhau.

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức chứa căn thức bậc hai.

Phương pháp:

 Vận dụng thích hợp các phép biến đổi đã học và các hằng đẳng thức đáng nhớ, các cách phân tích đa thức thành nhân tử để thực hiện phép chứng minh.

Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn và các bài toán liên quan.

Phương pháp:

- Ta sử dụng thích hợp các phép phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn để rút gọn.

-Các bài toán liên quan :

+) Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến, giải phương trình hoặc bất phương trình để tìm biến.

+) Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên

+) So sánh biểu thức với một số

+) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Dạng 4: Giải phương trình chứa căn thức bậc hai.

Phương pháp:

Ta sử dụng thích hợp các phép phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn để đưa phương trình đã cho về dạng cơ bản.

 

Luyện bài tập vận dụng tại đây!