Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn

1. Các kiến thức cần nhớ

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và một đường thẳng $\Delta $ bất kì. Gọi $d$ là khoảng cách từ tâm $O$ của đường tròn đến đường thẳng đó.

Trường hợp 1: Đường thẳng $\Delta $ và đường tròn $\left( {O;R} \right)$ cắt nhau.

Khi đó, đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung và khoảng cách $d = OH < R$

Trường hợp 2: Đường thẳng $\Delta $ và đường tròn $\left( {O;R} \right)$ tiếp xúc với nhau.

Khi đó, đường thẳng và đường tròn có một điểm chung và khoảng cách $d = OB = R$.

Đường thẳng $\Delta $ được gọi là tiếp tuyến của đường tròn và điểm $B$ là tiếp điểm.

Trường hợp 3: Đường thẳng $\Delta $ và đường tròn $\left( {O;R} \right)$ không giao nhau.

Khi đó, đường thẳng và đường tròn không có điểm chung và khoảng cách $d = OH > R$

Từ đó ta có bảng vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Số điểm

chung

Hệ thức giữa

$d$$R$

Đường thẳng và đường tròn cắt nhau

$2$

$d < R$

Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau

$1$

$d = R$

Đường thẳng và đường tròn không giao nhau

$0$

$d > R$

Định lý:

Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1:  Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Phương pháp:

Dựa vào bảng vị trí tương đối :

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Số điểm

chung

Hệ thức giữa

$d$$R$

Đường thẳng và đường tròn cắt nhau

$2$

$d < R$

Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau

$1$

$d = R$

Đường thẳng và đường tròn không giao nhau

$0$

$d > R$

Dạng 2: Bài toán độ dài dựa vào tính chất tiếp tuyến.

Phương pháp:

Sử dụng tính chất tiếp tuyến và định lý Pytago

Dạng 3: Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp:

Sử dụng tính chất đường phân giác và các đường thẳng song song cách đều để tìm tập hợp điểm.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!