Bài toán đếm trong hình học - hình học không gian

1. Cho $n$ điểm trong không gian, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.

Số đường thẳng đi qua 2 điểm: $C_{n}^{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$.

Số vectơ nối hai điểm bất kì: $n^{2}$.

Số vectơ khác $\overrightarrow{0}$ nối hai điểm bất kì: $A_{n}^{2}=n(n-1)$.

Số tam giác tạo thành: $C_{n}^{3}=\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}$.

Nếu trong $n$ điểm không có 4 điểm nào đồng phẳng, thì số tứ diện được tạo thành: $C_{n}^{4}$.

2. Cho đa giác lồi n đỉnh

Số đường chéo của đa giác: $C_{n}^{2}-n=\dfrac{n(n-3)}{2}$.

Số đường chéo cùng đi qua 1 đỉnh của đa giác: $n-3$.

Nếu không có 3 đường chéo nào đồng quy thì số giao điểm giữa các đường chéo

$C_{n}^{4}=\dfrac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$

Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác: $C_{n}^{3}=\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}$.

Số tam giác có đúng 1 cạnh của đa giác 2 cạnh còn lại là đường chéo: $n C_{n-4}^{1}=n(n-4)$.

Số tam giác có 2 cạnh của đa giác, 1 cạnh còn lại là đường chéo: $n$.

Số tam giác có cạnh đều là các đường chéo của đa giác: $C_{n}^{3}-n-n(n-4)=\dfrac{n\left(n^{2}-9 n+20\right)}{6}$

3. Cho đa giác đều $2n$ đỉnh \(n \ge 2\)

Số đường chéo xuyên tâm = số hình chữ nhật: \(C_n^2 = \dfrac{{n\left( {n - 2} \right)}}{2}\)

Số tam giác vuông: \(\left( {2n - 2} \right)C_n^2\)