Bất phương trình bậc hai

1. Bất phương trình bậc hai

- Bất phương trình bậc hai ẩn $x$ là bất phương trình dạng $a{x^2} + bx + c < 0$ (hoặc $a{x^2} + bx + c \le 0,$ $a{x^2} + bx + c > 0,$ $a{x^2} + bx + c \ge 0$), trong đó $a,\,\,b,\,\,c$ là những số thực đã cho, $a \ne 0.$

- Giải bất phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c < 0$ thực chất là tìm các khoảng mà trong đó $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ cùng dấu với hệ số $a$ (trường hợp $a < 0$) hay trái dấu với hệ số $a$ (trường hợp $a > 0$).

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Giải bất phương trình bậc hai.

Phương pháp:

- Bước 1: Biến đổi bất phương trình về dạng một vế là tam thức bậc hai, một vế bằng \(0\).

- Bước 2: Xét dấu vế trái của tam thức bậc hai và kết luận nghiệm.

Dạng 2: Giải bất phương trình tích.

Phương pháp:

- Bước 1: Biến đổi bất phương trình về dạng tích các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.

- Bước 2: Xét dấu các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai ở trên và kết luận nghiệm.

Dạng 3: Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương pháp:

- Bước 1: Biến đổi bất phương trình đã cho về dạng tích, thương các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.

- Bước 2: Xét dấu các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai ở trên và kết luận nghiệm.

Chú ý: Cần chú ý điều kiện xác định của bất phương trình.

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình vô nghiệm – có nghiệm – nghiệm đúng

Phương pháp:

Sử dụng một số tính chất:

- Nếu \(\Delta  < 0\) thì tam thức bậc hai cùng dấu với \(a\).

- Bình phương, căn bậc hai, giá trị tuyệt đối của một biểu thức luôn không âm.

Dạng 5: Giải hệ bất phương trình bậc hai

Phương pháp:

- Bước 1: Giải từng bất phương trình có trong hệ.

- Bước 2: Kết hợp nghiệm và kết luận.

Khi giải các bất phương trình mà muốn xét dấu thì luôn luôn phải biến đổi cho vế phải bằng \(0\) rồi xét dấu vế trái.