Bất phương trình mũ

1. Các kiến thức cần nhớ

- Tính đơn điệu của các hàm số \(y = {a^x}\)

+ Với \(0 < a < 1\) thì hàm số \(y = {a^x}\) nghịch biến.

+ Với \(a > 1\) thì hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến.

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Giải bất phương trình mũ.

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức có nghĩa.

- Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi: đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, đưa về dạng tích, logarit hóa, dùng hàm số,…để giải bất phương trình.

- Bước 3: Kiểm tra điều kiện và kết luận tập nghiệm.

Khi giải bất phương trình mũ cần chú ý đến điều kiện của cơ số \(a\).

Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình \({3^x} \ge {3^{2x - 1}}\) là:

A. \(\left( { - \infty ;1} \right]\)

B. \(\left( { - \infty ;1} \right)\)

C. \(\left( {1; + \infty } \right)\)                        

D. \(\left[ {1; + \infty } \right)\)

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp giải bất phương trình mũ với cơ số \(a > 1\): \({a^{f\left( x \right)}} \ge {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge g\left( x \right)\) .

Cách giải:

\({3^x} \ge {3^{2x - 1}} \Leftrightarrow x \ge 2x - 1 \Leftrightarrow  - x \ge  - 1 \Leftrightarrow x \le 1\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ;1} \right]\).

Chọn A.

Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình: \({\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^x} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} - 2 \le 0\) là:

A. \(\left( { - \infty ;1} \right]\)

B. \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)

C. \(\left[ {0; + \infty } \right)\)                         

D. \(\left( { - \infty ;0} \right]\)

Phương pháp:

Đưa về cùng cơ số và biến đổi thành dạng tích rồi giải bất phương trình.

Cách giải:

\(\begin{array}{l}{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^x} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} - 2 \le 0 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{2x}} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} - 2 \le 0 \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^x} - 1} \right]\left[ {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^x} + 2} \right] \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} - 1 \le 0 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} \le 1 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} \le {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^0} \Leftrightarrow x \ge 0\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ {0; + \infty } \right)\).

Chọn C.

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm.

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức có nghĩa.

- Bước 2: Biến đổi bất phương trình đã cho, nêu điều kiện để bất phương trình có nghiệm hoặc biện luận theo \(m\) nghiệm của bất phương trình.

- Bước 3: Giải điều kiện ở trên để tìm và kết luận điều kiện tham số.

Ví dụ: Tìm \(m\) để bất phương trình \(m{.4^x} - 2 < 0\) nghiệm đúng với mọi \(x\).

A. \(m \in R\)   

B. \(m = 0\)    

C. \(m > 0\)            

D. \(m \le 0\)

Phương pháp:

- Biến đổi bất phương trình đã cho về \(m{.4^x} < 2\).

- Biện luận bất phương trình theo \(m\) nghiệm của bất phương trình.

Cách giải:

Ta có: \(m{.4^x} - 2 < 0 \Leftrightarrow m{.4^x} < 2\).

+ Nếu \(m \le 0\) thì \(m{.4^x} \le 0 < 2\) đúng với mọi \(x\).

+ Nếu \(m > 0\) thì \(m{.4^x} < 2 \Leftrightarrow {4^x} < \dfrac{2}{m} \Leftrightarrow x < {\log _4}\dfrac{2}{m}\), do đó bất phương trình không nghiệm đúng với mọi \(x\).

Vậy \(m \le 0\).

Chọn D.