Các công thức cần nhớ cho bài toán lãi kép

1. Lãi kép theo định kì

- Là thể thức mà hết kì hạn này, tiền lãi được nhập vào vốn của kì tiếp theo.

2. Một số dạng toán về lãi suất

Dạng 1: Bài toán tiết kiệm (Thể thức lãi kép không kỳ hạn)

Một người gửi vào ngân hàng số tiền \(A\) đồng, lãi suất \(r\) mỗi tháng theo hình thức lãi kép, gửi theo phương thức không kì hạn. Tính số tiền cả vốn lẫn lãi mà người đó nhận được sau \(N\) tháng?

Phương pháp xây dựng công thức:

Gọi \({T_N}\) là số tiền cả vốn lẫn lãi sau \(N\) tháng. Ta có:

- Sau 1 tháng \(\left( {k = 1} \right):{T_1} = A + A.r = A\left( {1 + r} \right)\).

- Sau 2 tháng \(\left( {k = 2} \right):{T_2} = A\left( {1 + r} \right) + A\left( {1 + r} \right).r = A{\left( {1 + r} \right)^2}\)

- Sau \(N\) tháng \(\left( {k = N} \right):{T_N} = A{\left( {1 + r} \right)^N}\)

Vậy số tiền cả vốn lẫn lãi người đó có được sau \(N\) tháng là:

\({T_N} = A{\left( {1 + r} \right)^N}\)

Lãi suất thường được cho ở dạng \(a\% \) nên khi tính toán ta phải tính \(r = a:100\) rồi mới thay vào công thức.

Dạng 2: Bài toán tiết kiệm (Thể thức lãi kép có kỳ hạn)

Một người gửi vào ngân hàng số tiền \(A\) đồng, lãi suất \(r\) mỗi tháng theo hình thức lãi kép, gửi theo phương thức có kì hạn \(m\) tháng. Tính số tiền cả vốn lẫn lãi mà người đó nhận được sau \(N\) kì hạn?

Phương pháp:

Bài toán này tương tự bài toán ở trên, nhưng ta sẽ tính lãi suất theo định kỳ \(m\) tháng là: \(r' = m.r\).

Sau đó áp dụng công thức \({T_N} = A{\left( {1 + r'} \right)^N}\) với \(N\) là số kì hạn.

Trong cùng một kì hạn, lãi suất sẽ gống nhau mà không được cộng vào vốn để tính lãi kép.

Ví dụ: Một người gửi tiết kiệm \(100\) triệu vào ngân hàng theo mức kì hạn \(6\) tháng với lãi suất \(0,65\% \) mỗi tháng. Hỏi sau \(10\) năm, người đó nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi, biết rằng người đó không rút tiền trong \(10\) năm đó.

Giải:

- Số kỳ hạn \(N = \dfrac{{10.12}}{6} = 20\) kỳ hạn.

- Lãi suất theo định kỳ \(6\) tháng là \(6.0,65\%  = 3,9\% \).

Số tiền cả vốn lẫn lãi người đó có được sau \(10\) năm là: \(T = 100{\left( {1 + 3,9\% } \right)^{20}} = 214,9\) (triệu)

Dạng 3: Bài toán tích lũy (Hàng tháng (quý, năm,…) gửi một số tiền cố định vào ngân hàng)

Một người gửi vào ngân hàng số tiền \(A\) đồng mỗi tháng với lãi suất mỗi tháng là \(r\). Hỏi sau \(N\) tháng, người đó có tất cả bao nhiêu tiền trong ngân hàng?

Phương pháp xây dựng công thức:

Gọi \({T_N}\) là số tiền có được sau \(N\) tháng.

- Cuối tháng thứ 1: \({T_1} = A\left( {1 + r} \right)\).

- Đầu tháng thứ 2: \(A\left( {1 + r} \right) + A = \dfrac{A}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^2} - 1} \right]\)

- Cuối tháng thứ 2: \({T_2} = \dfrac{A}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^2} - 1} \right] + \dfrac{A}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^2} - 1} \right].r = \dfrac{A}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^2} - 1} \right]\left( {1 + r} \right)\)

- Đầu tháng thứ N: \(\dfrac{A}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^N} - 1} \right]\)

- Cuối tháng thứ \(N:{T_N} = \dfrac{A}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^N} - 1} \right]\left( {1 + r} \right)\).

Vậy sau \(N\) tháng, số tiền cả vốn lẫn lãi người đó có được là:

\({T_N} = \dfrac{A}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^N} - 1} \right]\left( {1 + r} \right)\)

Dạng 4: Bài toán trả góp.

Một người vay ngân hàng số tiền \(T\) đồng, lãi suất định kì là \(r\). Tìm số tiền \(A\) mà người đó phải trả cuối mỗi kì để sau \(N\) kì hạn là hết nợ.

Phương pháp xây dựng công thức:

- Sau 1 tháng, số tiền gốc và lãi là \(T + T.r\), người đó trả \(A\) đồng nên còn:$T + T.r - A = T\left( {1 + r} \right) - A$

- Sau 2 tháng, số tiền còn nợ là: $T\left( {1 + r} \right) - A + \left[ {T\left( {1 + r} \right) - A} \right].r - A = T{\left( {1 + r} \right)^2} - \dfrac{A}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^2} - 1} \right]$

- Sau 3 tháng, số tiền còn nợ là: $T{\left( {1 + r} \right)^3} - \dfrac{A}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^3} - 1} \right]$

- Sau \(N\) tháng, số tiền còn nợ là: $T{\left( {1 + r} \right)^N} - \dfrac{A}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^N} - 1} \right]$.

Vậy sau \(N\) tháng, người đó còn nợ số tiền là:

$T{\left( {1 + r} \right)^N} - \dfrac{A}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^N} - 1} \right]$

Khi trả hết nợ thì số tiền còn lại bằng \(0\) nên ta có:

$T{\left( {1 + r} \right)^N} - \dfrac{A}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^N} - 1} \right] = 0 \Leftrightarrow A = \dfrac{{T{{\left( {1 + r} \right)}^N}.r}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^N} - 1}}$