Đại cương về bất phương trình

1. Kiến thức cần nhớ

a. Bất phương trình một ẩn

- Là mệnh đề chứa biến có dạng \(f\left( x \right) < g\left( x \right)\)  (hoặc \(f\left( x \right) \le g\left( x \right),f\left( x \right) > g\left( x \right),f\left( x \right) \ge g\left( x \right)\)) trong đó, \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) là các biểu thức của \(x\).

- Giải bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm (tập nghiệm) của nó. Khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm.

b. Điều kiện của một bất phương trình

Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số $x$ để $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình $\left( 1 \right).$

c. Bất phương trình tương đương

- Định nghĩa: Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu \(\Leftrightarrow\) để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó.

- Phép biến đổi tương đương

+) Cộng (trừ)

Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.

$P\left( x \right) < Q\left( x \right) \Leftrightarrow P\left( x \right) + f\left( x \right) < Q\left( x \right) + f\left( x \right)$

+) Nhân (chia)

- Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị dương (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) ta được một bất phương trình tương đương.

- Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) và đổi chiều bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.

$P\left( x \right) < Q\left( x \right) \Leftrightarrow P\left( x \right).f\left( x \right) < Q\left( x \right).f\left( x \right),\,\,\,\,f\left( x \right) > 0,\,\,\forall x$

$P\left( x \right) < Q\left( x \right) \Leftrightarrow P\left( x \right).f\left( x \right) > Q\left( x \right).f\left( x \right),\,\,\,\,f\left( x \right) < 0,\,\,\forall x$

+) Bình phương

Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện của nó ta được một bất phương trình tương đương.

$P\left( x \right) < Q\left( x \right) \Leftrightarrow {P^2}\left( x \right) < {Q^2}\left( x \right),\,\,\,\,\,P\left( x \right) \ge 0,\,\,Q\left( x \right) \ge 0,\,\,\forall x$

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của bất phương trình.

Phương pháp:

Sử dụng lý thuyết:

- Biểu thức \(\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) xác định nếu \(g\left( x \right) \ne 0\).

- Biểu thức \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định nếu \(f\left( x \right) \ge 0\).

Dạng 2: Xét tính tương đương của các bất phương trình.

Phương pháp:

- Cách 1: Xét các phép biến đổi từ phương trình này sang phương trình kia có tương đương hay không.

Sử dụng các phép biến đổi tương đương thường gặp (cộng, trừ, nhân, chia (biểu thức không âm), bình phương hai vế không âm, nâng lũy thừa bậc lẻ,…)

- Cách 2: Giải các bất phương trình và kiểm tra tập nghiệm của chúng có trùng nhau hay không.

Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm rỗng vẫn được coi là tương đương.

Dạng 3: Giải bất phương trình.

Phương pháp:

Sử dụng các phép biến đổi tương đương để tìm tập nghiệm của bất phương trình.