Đồ thị hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ

1. Các kiến thức cần nhớ

Công thức tịnh tiến hệ tọa độ:

Cho điểm \(I\left( {{x_0};{y_0}} \right),M\left( {x;y} \right)\) đối với hệ tọa độ \(Oxy\)

Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow {OI} \) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = X + {x_0}\\y = Y + {y_0}\end{array} \right.\)

Khi đó điểm \(I\left( {0;0} \right),M\left( {X,Y} \right)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ mới:

Cho đường cong \(\left( C \right):y = f\left( x \right)\) trong hệ tọa độ \(Oxy\), khi đó phương trình của \(\left( C \right)\) trong hệ tọa độ \(IXY\) là:

\(Y = f\left( {X + {x_0}} \right) - {y_0}\)

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số:

Nếu hàm số \(Y = g\left( X \right)\) là hàm số lẻ (trong hệ tọa độ mới \(IXY\)) thì điểm \(I\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) trong hệ tọa độ \(Oxy\) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm công thức chuyển hệ tọa độ.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính tọa độ điểm \(I\) (nếu cần).

- Bước 2: Viết công thức chuyển hệ tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}x = X + {x_0}\\y = Y + {y_0}\end{array} \right.\)

Dạng 2: Viết phương trình đường cong sau khi chuyển hệ tọa độ.

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm tọa độ điểm \(I\) (nếu cần)

- Bước 2: Viết công thức chuyển hệ tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}x = X + {x_0}\\y = Y + {y_0}\end{array} \right.\)

- Bước 3: Viết phương trình đường cong đối với hệ tọa độ mới: \(Y = f\left( {X + {x_0}} \right) - {y_0}\)

Dạng 3: Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {ad - bc \ne 0} \right)\)

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm tọa độ điểm \(I\): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} =  - \dfrac{d}{c}\\{y_0} = \dfrac{a}{c}\end{array} \right.\)

- Bước 2: Viết công thức chuyển hệ tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}x = X + {x_0}\\y = Y + {y_0}\end{array} \right.\)

- Bước 3: Viết phương trình đường cong đối hệ tọa độ mới: \(Y = f\left( {X + {x_0}} \right) - {y_0}\).

- Bước 4: Chứng minh \(g\left( { - X} \right) =  - g\left( X \right) =  - Y\) suy ra hàm số \(Y = g\left( X \right)\) là hàm số lẻ và kết luận.

Dạng 4: Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính \(y',y''\), giải phương trình \(y'' = 0\) tìm nghiệm \({x_0} \Rightarrow \) điểm \(I\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

- Bước 2: Viết công thức chuyển hệ tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}x = X + {x_0}\\y = Y + {y_0}\end{array} \right.\)

- Bước 3: Viết phương trình đường cong đối hệ tọa độ mới: \(Y = f\left( {X + {x_0}} \right) - {y_0}\).

- Bước 4: Chứng minh \(g\left( { - X} \right) =  - g\left( X \right) =  - Y\) suy ra hàm số \(Y = g\left( X \right)\) là hàm số lẻ và kết luận.