Hệ phương trình có cấu trúc đặc biệt

1. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai

Dạng tổng quát: \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\d{x^2} + exy + f{y^2} + gx + hy = i\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Phương pháp giải:

- Bước 1: Từ phương trình bậc nhất (1), rút \(x\) theo \(y\) (hoặc \(y\) theo \(x)\).

- Bước 2: Thế vào phương trình còn lại (2) để giải tìm $x$ (hoặc tìm $y$).

2. Hệ phương trình đối xứng loại I

Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí \(x\) và \(y\) cho nhau thì hệ không thay đổi và trật tự các phương trình cũng không thay đổi.

Phương pháp giải:

- Bước 1: đặt $S = x + y,{\rm{ }}P = xy.$

- Bước 2: Giải hệ với ẩn $S,{\rm{ }}P$ với điều kiện có nghiệm $(x;y)$ là ${S^2} \ge 4P.$

- Bước 3: Tìm nghiệm $(x;y)$ bằng cách thế vào phương trình ${X^2} - SX + P = 0.$

Một số biến đổi để đưa về dạng tổng – tích thường gặp:

+) ${x^2} + {y^2} = {(x + y)^2} - 2xy $ $= {S^2} - 2P.$

+) ${x^3} + {y^3} = {(x + y)^3} - 3xy(x + y) $ $= {S^3} - 3SP.$

+) ${(x - y)^2} = {(x + y)^2} - 4xy $ $= {S^2} - 4P.$

+) ${x^4} + {y^4} = {({x^2} + {y^2})^2} - 2{x^2}{y^2} $ $= {S^4} - 4{S^2}P + 2{P^2}.$

+) ${x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2} $ $= ({x^2} - xy + {y^2})({x^2} + xy + {y^2}) =  \cdot  \cdot  \cdot $

3. Hệ phương trình đối xứng loại II

Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí \(x\) và \(y\) cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi và trật tự các phương trình thay đổi (phương trình này trở thành phương trình kia).

Phương pháp giải:

- Bước 1: Lấy vế trừ vế và phân tích thành nhân tử đưa về dạng $(x - y).f(x) = 0,$

- Bước 2: Tìm mối quan hệ giữa \(x,y\) từ phương trình thu được.

- Ta luôn có $x = y$ từ phương trình ở bước 1.

- Từ mối quan hệ tìm được ở bước 2 ta biến đổi các phương trình đầu bài và giải nghiệm.

- Đối với hệ đối xứng loại II chứa căn thức, sau khi trừ ta thường liên hợp.

4. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai

Dạng tổng quát: $\left\{ \begin{array}{l}{a_1}{x^2} + {b_1}xy + {c_1}{y^2} = {d_1}\\{a_2}{x^2} + {b_2}xy + {c_2}{y^2} = {d_2}\end{array} \right.(i)$                                    

Phương pháp giải:

$(i) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{d_2}({a_1}{x^2} + {b_1}xy + {c_1}{y^2}) = {d_1}.{d_2}(1)\\{d_1}({a_2}{x^2} + {b_2}xy + {c_2}{y^2}) = {d_1}.{d_2}(2)\end{array} \right.$

Lấy $(1) - (2) \Rightarrow ({a_1}{d_2} - {a_2}{d_1}) \cdot {x^2} + ({b_1}{d_2} - {b_2}{d_1}) \cdot xy + ({c_1}{d_2} - {c_2}{d_1}) \cdot {y^2} = 0.$ Đây là phương trình đẳng cấp bậc hai nên sẽ tìm được mối liên hệ $x,y$

Dạng $\left\{ \begin{array}{l}{f_m}(x;y) = a\\{f_n}(x;y) = {f_k}(x;y)\end{array} \right.$ với ${f_m}(x;y),{\rm{ }}{f_n}(x;y),{\rm{ }}{f_k}(x;y)$ là các biểu thức đẳng cấp bậc $m,{\rm{ }}n,{\rm{ }}k$ thỏa mãn $m + n = k.$ Khi đó ta sẽ sử dụng kỹ thuật đồng bậc để giải.

Tức là biến đổi hệ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {f_m}(x;y)\\a \cdot {f_n}(x;y) = a \cdot {f_k}(x;y)\end{array} \right.$ $ \Rightarrow {f_m}(x;y) \cdot {f_n}(x;y) = a.{f_k}(x;y)$ và đây là phương trình đẳng cấp bậc $k$