Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỷ

1. Kiến thức cần nhớ

Cho hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\)

* Tập xác định  \(D = R\backslash \left\{ {\dfrac{{ - d}}{c}} \right\}\)

* Sự biến thiên

+) \(y' = \dfrac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\)

+) Đường tiệm cận: tiệm cận đứng \(x =  - \dfrac{d}{c}\); tiệm cận ngang \(y = \dfrac{a}{c}\).

+) Tâm đối xứng \(I\left( { - \dfrac{d}{c};\dfrac{a}{c}} \right)\).

+) Bảng biến thiên :

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm hàm số có đồ thị cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm các tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

+ Tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = {x_0}\) song song với trục \(Oy\), khi đó \({x_0}\) là nghiệm của mẫu thức.

+ Tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = {y_0}\) song song với trục \(Ox\), khi đó \({y_0} = \dfrac{a}{c}\).

- Bước 2: Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với hai trục tọa độ.

+ Giao điểm của đồ thị với trục \(Oy\) là \(\left( {0;\dfrac{b}{d}} \right)\).

+ Giao điểm của đồ thị với trục \(Ox\) là \(\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right)\).

- Bước 3: Xét tính đơn điệu của hàm số.

+ Hai nhánh đồ thị hướng lên từ trái qua phải thì hàm số đồng biến \( \Leftrightarrow ad - bc > 0\).

+ Hai nhánh đồ thị hướng xuống từ trái qua phải thì hàm số nghịch biến \( \Leftrightarrow ad - bc < 0\).

Khi thực hành, HS có thể áp dụng từng bước để loại trừ đáp án, đến khi chọn được đáp án đúng thì kết luận, không nhất thiết phải thực hiện cả 3 bước nếu đã có được đáp án.

Dạng 2: Tìm hàm số có bảng biến thiên cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số.

+ Tại điểm \({x_0}\) mà \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  \pm \infty \) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  \pm \infty \) thì \(x = {x_0}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, khi đó \({x_0}\) là nghiệm của mẫu thức.

+ Nếu có \(y = {y_0}\) tại điểm \(x =  \pm \infty \) thì \(y = {y_0}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số, khi đó \({y_0} = \dfrac{a}{c}\).

- Bước 2: Xét tính đơn điệu của hàm số.

+ Nếu trên cả 2 khoảng \(\left( { - \infty ;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0}; + \infty } \right)\), đạo hàm đều mang dấu \( + \) thì hàm số đồng biến trên 2 khoảng đó, khi đó \(ad - bc > 0\).

+ Nếu trên cả 2 khoảng \(\left( { - \infty ;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0}; + \infty } \right)\), đạo hàm đều mang dấu \( - \) thì hàm số nghịch biến trên 2 khoảng đó, khi đó \(ad - bc < 0\).