Lũy thừa của một số hữu tỉ

I. Các kiến thức cần nhớ

1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ $x$ , kí hiệu là \({x^n}\), là tích của $n$  thừa số $x$  ($n$  là một số tự nhiên lớn hơn $1$ ): \({x^n} = \underbrace {x.x...x}_n\) \(\left( {x \in \mathbb{Q},n \in \mathbb{N},n > 1} \right)\)

Quy ước: \({x^1} = x;\) \({x^0} = 1\) \(\left( {x \ne 0} \right)\)

Ví dụ: \({2^3} = 2.2.2\)

Chú ý: Khi viết lũy thừa dưới dạng \(\dfrac{a}{b}\left( {a,\,b \in \mathbb{Z};\,b \ne 0} \right)\) , ta có \({\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^n} = \dfrac{{{a^n}}}{{{b^n}}}\)

2. Tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số

+ Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ:

\({x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\) (với \(x\) là số hữu tỉ)

+ Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của lũy thừa bị chia trừ đi số mũ của lũy thừa chia: \({x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}\)\(\left( {x \ne 0,m \ge n} \right)\)

Ví dụ: \({3^5}{.3^2} = {3^{5 + 2}} = {3^7};\)\({2^7}:{2^2} = {2^{7 - 2}} = {2^5}\).

3. Lũy thừa của lũy thừa

Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ: \({\left( {{x^m}} \right)^n} = {x^{m.n}}\)

Ví dụ: \({\left( {{2^3}} \right)^4} = {2^{3.4}} = {2^{12}}\).

4. Lũy thừa của một tích

Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa: \({\left( {x.y} \right)^n} = {x^n}.{y^n}\)

Ví dụ: \({\left( {2.3} \right)^2} = {2^2}{.3^2} = 4.9 = 36\)

5. Lũy thừa của một thương

Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa: \({\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^n} = \dfrac{{{x^n}}}{{{y^n}}}\)\(\left( {y \ne 0} \right)\)

Ví dụ: \({\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^3} = \dfrac{{{2^3}}}{{{3^3}}} = \dfrac{8}{{27}}\)

II. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính tích các lũy thừa, thương các lũy thừa, lũy thừa của một tích và lũy thừa của một thương

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa lũy thừa và các công thức \({x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\); \({x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}\)\(\left( {x \ne 0,m \ge n} \right);\)\({\left( {{x^m}} \right)^n} = {x^{m.n}};\) \({\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^n} = \dfrac{{{x^n}}}{{{y^n}}}\)\(\left( {y \ne 0} \right).\)

Dạng 2: Tìm số mũ hoặc cơ số của một lũy thừa

Phương pháp:

Ta sử dụng tính chất nếu \({a^m} = {a^n}\)  thì \(m = n\,\,\left( {a \ne 0;a \ne  \pm 1} \right)\)

+ Nếu \({a^n} = {b^n}\) thì \(a = b\) nếu \(n\) lẻ;\(a =  \pm b\) nếu \(n\) chẵn

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức

Phương pháp:

Thực hiện đúng thứ tự của phép tính: Lũy thừa, nhân, chia, cộng, trừ. Nếu có dấu ngoặc ta cần làm theo thứ tự: ngoặc tròn-ngoặc vuông-ngoặc nhọn.