Lũy thừa với số mũ hữu tỉ - Định nghĩa và tính chất

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

a) Định nghĩa:

- Lũy thừa với số mũ nguyên dương \(a \in R:{a^n} = a.a...a\) (n thừa số a).

- Lũy thừa với số mũ nguyên âm: \(a \ne 0:{a^{ - n}} = \dfrac{1}{{{a^n}}};{a^0} = 1\)

- Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: \(a > 0:{a^{\dfrac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\left( {m,n \in Z,n \ge 2} \right)\)

b) Tính chất:

Cho \(a \ne 0,b \ne 0\) và \(m,n\) là các số nguyên, ta có:

1/ \({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\)

2/ \({a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}\)

3/ \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}}\)

4/ \({\left( {ab} \right)^n} = {a^n}{b^n}\)

5/ \({\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^n} = \dfrac{{{a^n}}}{{{b^n}}}\)

6/ Với \(a > 1\) thì \({a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n\)

7/ Với \(0 < a < 1\) thì \({a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m < n\)

Hệ quả:

1/ Với \(0 < a < b\) và \(m\) nguyên dương thì \({a^m} < {b^m}\).

2/ Với \(0 < a < b\) và \(m\) nguyên âm thì \({a^m} > {b^m}\)

3/ Với \(a < b,n\) là số tự nhiên lẻ thì \({a^n} < {b^n}\)

4/ Với \(a > 0,b > 0,n\) là số nguyên khác \(0\) thì \({a^n} = {b^n} \Leftrightarrow a = b\).

2. Căn bậc n

a) Định nghĩa: Cho số thực \(b\) và số nguyên dương \(n\left( {n \ge 2} \right)\). Số \(a\) được gọi là căn bậc \(n\) của số \(b\) nếu \({a^n} = b\).

Từ định nghĩa suy ra:

- Với \(n\) lẻ và \(b \in R\) có duy nhất một căn bậc \(n\) của \(b\), kí hiệu là \(\sqrt[n]{b}\).

- Với \(n\) chẵn và:    

+ \(b < 0\) thì không tồn tại căn bậc \(n\) của \(b\).

+ \(b = 0\) thì có một căn bậc \(n\) của \(b\) là \(0\).

+ \(b > 0\) thì có hai căn trái dấu là \( \pm \sqrt[n]{b}\)

- Căn bậc \(1\) của số \(a\) chính là \(a\).

- Căn bậc \(n\) của số \(0\) là \(0\).

- Nếu \(n\) lẻ thì \(\sqrt[n]{{{a^n}}} = a\) ; nếu \(n\) chẵn thì \(\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left| a \right|\) khi \(n\) chẵn.

b) Tính chất:

Với \(a \ge 0,b \ge 0,m,n\) nguyên dương, ta có:

1/ \(\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\)

2/ \(\sqrt[n]{{\dfrac{a}{b}}} = \dfrac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}}\left( {b > 0} \right)\)

3/ \(\sqrt[n]{{{a^p}}} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^p}\left( {a > 0} \right)\)

4/ \(\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a}\)

5/ \(\sqrt[n]{a} = \sqrt[{mn}]{{{a^m}}} (a>0) \)