Lũy thừa với số mũ thực

1. Kiến thức cần nhớ

a) Định nghĩa

Cho \(a > 0,a \in R,\alpha \) là một số vô tỉ, khi đó \({a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {a^{{r_n}}}\) với \(\left( {{r_n}} \right)\) là dãy số hữu tỉ thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {r_n} = \alpha \).

+ Lũy thừa với số mũ nguyên dương thì không cần điều kiện cho cơ số.

+ Lũy thừa với số mũ nguyên âm và số mũ \(0\) thì cơ số phải khác \(0\).

+ Lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.

b) Tính chất của lũy thừa với số mũ thực

Cho \(a,b > 0;x,y \in R\) ta có:

1/ \({a^x}.{a^y} = {a^{x + y}}\)

2/ \({a^x}:{a^y} = {a^{x - y}}\)

3/ \({\left( {{a^x}} \right)^y} = {a^{xy}}\)

4/ \({\left( {ab} \right)^x} = {a^x}{b^x}\)

5/ \({\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^x} = \dfrac{{{a^x}}}{{{b^x}}}\)

6/ \({a^x} > 0,\forall x \in R\)

7/ \({a^x} = {a^y} \Leftrightarrow x = y\left( {a \ne 1} \right)\)

8/ Với \(a > 1\) thì \({a^x} > {a^y} \Leftrightarrow x > y\); với \(0 < a < 1\) thì \({a^x} > {a^y} \Leftrightarrow x < y\).

9/ Với \(0 < a < b\) và \(m\) nguyên dương thì \({a^m} < {b^m}\); \(m\) nguyên âm thì \({a^m} > {b^m}\)

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính giá trị, rút gọn các biểu thức.

Phương pháp:

- Bước 1: Biến đổi các lũy thừa sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ thực.

- Bước 2: Thực hiện tính toán với chú ý về thứ tự thực hiện các phép tính:

+ Nếu không có ngoặc: Lũy thừa (căn bậc \(n\)) \( \to \) nhân, chia \( \to \) cộng, trừ.

+ Nếu có ngoặc: Thực hiện trong ngoặc \( \to \) lũy thừa (căn bậc \(n\)) \( \to \) nhân, chia \( \to \) cộng, trừ.

Dạng 2: So sánh hai hay nhiều biểu thức.

Phương pháp:

- Bước 1: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc số mũ(nếu có thể)        

- Bước 2: Tính toán, rút gọn các biểu thức đã cho bằng cách sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ, số mũ thực, căn bậc \(n\).

- Bước 3: So sánh giá trị các biểu thức đã rút gọn dựa vào tính chất về so sánh hai lũy thừa.