Mệnh đề

1. Mệnh đề

Định nghĩa: Một mệnh đề logic (gọi tắt là mệnh đề) là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai. Một câu khẳng định sai gọi là một mệnh đề sai, một câu khẳng định đúng gọi là một mệnh đề đúng. Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.

Ví dụ:

a) “Hà Nội là một thành phố ở miền nam Việt Nam” là một mệnh đề sai.

b) “\(3 + 4 = 7\)” là một mệnh đề đúng.

Câu không phải là khẳng định hoặc câu khẳng định mà không có tính đúng-sai thì không phải là mệnh đề.

Ví dụ: “Nhà bạn An ở đâu?” là một câu không phải là mệnh đề.

2. Một số mệnh đề thường gặp

a) Mệnh đề phủ định

Định nghĩa: Cho mệnh đề \(P\). Mệnh đề “Không phải \(P\)” được gọi là mệnh đề phủ định của \(P\) và kí hiệu là \(\overline P \). Mệnh đề \(P\) và \(\overline P \) là hai câu khẳng định trái ngược nhau. Nếu \(P\) đúng \(\overline P \) sai, nếu \(P\) sai thì \(\overline P \) đúng.

Mệnh đề phủ định của \(P\) có thể diễn đạt theo nhiều cách khác nhau, miễn là cùng mang một ý nghĩa “không phải \(P\)”.

Cho mệnh đề \(P\): “\(6\) chia hết cho \(3\)”. Khi đó, mệnh đề phủ định của \(P\) là:

\(\overline P \): “\(6\) không chia hết cho \(3\)” hoặc\(\overline P \): “\(6\) không là bội của \(3\)” đều cùng mang một ý nghĩa phủ định của \(P\).

b) Mệnh đề kéo theo

Cho hai mệnh đề \(P\) và \(Q\). Mệnh đề “Nếu \(P\) thì \(Q\)” được gọi là mệnh đề kéo theo.

Kí hiệu: \(P \Rightarrow Q\).

Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) chỉ sai khi \(P\) đúng, \(Q\) sai và đúng trong các trường hợp còn lại.

Ví dụ:

i) Mệnh đề “Nếu \(3\) là số nguyên tố thì \(3\) chia hết cho \(3\)” là mệnh đề đúng vì hai mệnh đề “\(3\) là số nguyên tố” và “\(3\) chia hết cho \(3\)” đều đúng.

ii) Mệnh đề “Nếu \(3\) không là số nguyên tố thì \(3\) không chia hết cho \(3\)” là mệnh đề đúng vì hai mệnh đề “\(3\) không là số nguyên tố” và “\(3\) không chia hết cho \(3\)” đều sai.

iii) Mệnh đề “Nếu \(3\) không là số nguyên tố thì \(3\) chia hết cho \(3\)” là mệnh đề đúng vì mệnh đề “\(3\) không là số nguyên tố” sai và “\(3\) chia hết cho \(3\)” đúng.

iv) Mệnh đề “Nếu \(3\) là số nguyên tố thì \(3\) không chia hết cho \(3\)” là mệnh đề sai vì mệnh đề “\(3\) là số nguyên tố” đúng và “\(3\) không chia hết cho \(3\)” sai.

c) Mệnh đề đảo

Cho mệnh đề kéo theo \(P \Rightarrow Q\). Mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\).

Ví dụ: Mệnh đề “Nếu \(ABC\) là tam giác vuông cân thì \(ABC\) là tam giác vuông” có mệnh đề đảo là “Nếu \(ABC\) là tam giác vuông thì \(ABC\) là tam giác vuông cân”.

d) Mệnh đề tương đương

Cho hai mệnh đề \(P\) và \(Q\), mệnh đề có dạng “\(P\) nếu và chỉ nếu \(Q\)” được gọi là mệnh đề tương đương.

Kí hiệu là \(P \Leftrightarrow Q\).

Mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\) chỉ đúng khi cả hai mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\) đều đúng, hay nói cách khác: \(P \Leftrightarrow Q\) chỉ đúng khi cả hai mệnh đề \(P,Q\) cùng đúng hoặc cùng sai.

Ví dụ:

Cho các mệnh đề: \(P\): “Tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau”.

\(Q\): “Tứ giác \(ABCD\) là hình vuông”.

Mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\): “Tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau nếu và chỉ nếu tứ giác \(ABCD\) là hình vuông” là mệnh đề đúng vì các mệnh đề:

+) \(P \Rightarrow Q\): “Nếu tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau thì tứ giác \(ABCD\) là hình vuông” là mệnh đề đúng.

+) \(Q \Rightarrow P\): “Nếu tứ giác \(ABCD\) là hình vuông thì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau” là mệnh đề đúng.