Phép đối xứng trục
1. Kiến thức cần nhớ
a) Định nghĩa
- Hai điểm M,M′M,M′ được gọi là đối xứng nhau qua đường thẳng aa nếu aa là đường trung trực của đoạn thẳng MM′MM′, nếu M∈aM∈a thì M′≡MM′≡M.
- Phép đối xứng qua đường thẳng aa là phép biến hình biến mỗi điểm MM thành M′M′ đối xứng với MM qua aa, biến đường thẳng aa thành chính nó.
- Kí hiệu: DaDa (phép đối xứng trục qua đường thẳng aa).
Như vậy Da(M)=M′⇔→HM=−→HM′Da(M)=M′⇔−−−→HM=−−−−→HM′ với HH là hình chiếu của MM trên aa.
b) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục
Cho điểm M(x;y)M(x;y). Phép đối xứng qua trục OxOx biến điểm MM thành M′M′ thì M′(x;−y)M′(x;−y).
Đối xứng qua trục nào thì giữ nguyên tọa độ đó, còn lại lấy giá trị đối.
c) Tính chất phép đối xứng trục
- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
- Biến một đường thẳng thành đường thẳng.
- Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng bằng nó.
- Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.
- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
d) Hình có trục đối xứng
Đường thẳng dd được gọi là trục đối xứng của hình HH nếu phép đối xứng trục DdDd biến hình HH thành chính nó, tức là Dd(H)=HDd(H)=H
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm điểm đối xứng với một điểm qua đường thẳng cho trước.
Cho đường thẳng dd và điểm MM cho trước. Tìm điểm M′M′ đối xứng với MM qua dd.
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm hình chiếu HH của MM trên dd.
+) Viết phương trình đường thẳng ΔΔ qua MM và vuông góc với dd.
+) Hình chiếu HH là giao điểm của dd và ΔΔ.
- Bước 2: Tìm tọa độ điểm M′M′.
Điểm M′M′ là ảnh của MM nếu HH là trung điểm của MM′MM′.
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng đã cho qua phép đối xứng qua đường thẳng.
Cho đường thẳng d và Δ, viết phương trình đường thẳng d′ đối xứng với d qua Δ.
Phương pháp:
- Bước 1: Lấy hai điểm phân biệt bất kì thuộc d, tìm các điểm đối xứng với hai điểm lấy được qua đường thẳng .
- Bước 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm ảnh.
Dạng 3: Viết phương trình đường tròn đối xứng với đường tròn qua đường thẳng.
Cho đường tròn (C) và đường thẳng d. Viết phương trình đường tròn (C′) đối xứng với (C) qua d.
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn.
- Bước 2: Tìm tọa độ điểm đối xứng với tâm qua đường thẳng.
- Bước 3: Viết phương trình đường tròn có tâm vừa tìm được và bán kính bằng bán kính đường tròn đã cho.
