Phương pháp giải một số bài toán về hàm phân thức có tham số

Dưới đây là một dạng toán thường gặp đối với hàm phân thức có tham số:

Dạng 1: Xét các tính chất của hàm số có bảng biến thiên cho trước. (khoảng đơn điệu của hàm số, tiệm cận, tâm đối xứng của đồ thị hàm số,…)

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số.

+ Tại điểm \({x_0}\) mà \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  \pm \infty \) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  \pm \infty \) thì \(x = {x_0}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, khi đó \({x_0}\) là nghiệm của mẫu thức.

+ Nếu có \(y = {y_0}\) tại điểm \(x =  \pm \infty \) thì \(y = {y_0}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số, khi đó \({y_0} = \dfrac{a}{c}\).

- Bước 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.

Nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng \(\left( {a;b} \right) \supset \left( {c;d} \right)\) thì nó cũng đồng biến trên \(\left( {c;d} \right)\).

- Bước 3: Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số: Giao điểm \(I\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) của  đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

HS có thể xét tính đúng sai của từng đáp án, đối chiếu với bảng biến thiên để loại đáp án, không nhất thiết phải thực hiện tuần tự từng bước ở trên, tránh mất nhiều thời gian.

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số thể đồ thị hàm số có tâm đối xứng thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c \ne 0\\ad - bc \ne 0\end{array} \right.\).

- Bước 2: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là giao điểm 2 tiệm cận \(I\left( { - \dfrac{d}{c};\dfrac{a}{c}} \right)\).

- Bước 3: Thay tọa độ tâm đối xứng vào điều kiện đề bài để tìm \(m\).

- Bước 4: Kết hợp với điều kiện ở bước 1 để kết luận điều kiện của \(m\).

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1:  Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c \ne 0\\ad - bc \ne 0\end{array} \right.\).

- Bước 2: Tìm phương trình hai đường tiệm cận \(x =  - \dfrac{d}{c};y = \dfrac{a}{c}\).

- Bước 3: Thay vào điều kiện đề bài để tìm \(m\).

- Bước 4: Kết hợp với điều kiện ở bước 1 để kết luận điều kiện của \(m\).

Dạng 4: Tìm điều kiện cho các hệ số trong hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có đồ thị cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số.

+ Tiệm cận đứng \(x = {x_0} \Rightarrow  - \dfrac{d}{c} = {x_0}\).

+ Tiệm cận ngang \(y = {y_0} \Rightarrow \dfrac{a}{c} = {y_0}\).

- Bước 2: Tìm điểm đi qua của đồ thị hàm số (thường là giao của đồ thị hàm số với \(Ox,Oy\))

+ Giao điểm của đồ thị hàm số với \(Ox\) là \(\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right)\).

+ Giao điểm của đồ thị hàm số với \(Oy\) là \(\left( {0;\dfrac{b}{d}} \right)\).

- Bước 3: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số \( \Rightarrow ad - bc\).