Phương trình mặt phẳng

1. Véc tơ pháp tuyến và cặp véc tơ chỉ phương của mặt phẳng

+) Véc tơ \(\overrightarrow n \left( { \ne \overrightarrow 0 } \right)\) là một véc tơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng \(\left( P \right)\) nếu giá của nó vuông góc với \(\left( P \right)\).

+) Hai véc tơ không cùng phương \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) được gọi là cặp véc tơ chỉ phương (VTCP) của \(\left( P \right)\) nếu giá của chúng nằm trong \(\left( P \right)\) hoặc song song với \(\left( P \right)\).

+) Nếu \(\overrightarrow n \) là một VTPT của \(\left( P \right)\) thì \(k.\overrightarrow n \left( {k \ne 0} \right)\) cũng là VTPT của \(\left( P \right)\), do đó một mặt phẳng có vô số VTPT.

+) Nếu \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) là cặp VTCP của \(\left( P \right)\) thì \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\) là một VTPT của \(\left( P \right)\).

2. Phương trình mặt phẳng.

+) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\) làm VTPT thì \(\left( P \right)\) có phương trình:

\(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)

+) Nếu \({a^2} + {b^2} + {c^2} > 0\) (\(a,b,c\) không đồng thời bằng \(0\)) thì phương trình \(ax + by + cz + d = 0\) là phương trình của một mặt phẳng có VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\).

+) \(a.a' + b.b' + c.c' = 0\) thì \(\left( P \right) \bot \left( Q \right)\).

3. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

- Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\) là:

\(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

- Đặc biệt, nếu điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) \in \left( P \right)\) thì \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = 0\).

4. Viết phương trình mặt phẳng

-) Mặt phẳng đi qua ba điểm.

\(\left( P \right)\) đi qua \(A,B,C \Leftrightarrow \left( P \right)\) đi qua \(A\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\) làm VTPT.

-) Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng.

\(\left( P \right)\) là mặt phẳng trung trực của \(AB\) nếu \(\left( P \right)\) đi qua trung điểm \(I\) của \(AB\) và nhận \(\overrightarrow {AB} \) làm VTPT.

-) Mặt phẳng đi qua một điểm và song song với mặt phẳng.

\(\left( P \right)\) đi qua \(A\) và song song \(\left( Q \right)\) nếu \(\left( P \right)\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow {{n_Q}} \) làm VTPT.

-) Mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với một mặt phẳng.

\(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(M,N\) và song song mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nếu \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right]\) làm VTPT.

-) Mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai mặt phẳng.

\(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\) và vuông góc với \(\left( Q \right),\left( R \right)\) (không song song) nếu \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_R}} } \right]\) làm VTPT.

Muốn viết phương trình mặt phẳng ta cần xác định một điểm và một véc tơ pháp tuyến.

- Phương trình đoạn chắn: Mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) là:

\(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\)

- Phương trình các mặt phẳng tọa độ: \(\left( {Oxy} \right):z = 0,\left( {Oyz} \right):x = 0,\left( {Oxz} \right):y = 0\)

- Chùm mặt phẳng:

Giả sử \(\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\) trong đó: \(\left( P \right):{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0\;;\left( Q \right):{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0\)

Khi đó, mọi mặt phẳng chứa \(d\) đều có phương trình dạng: \(m\left( {{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1}} \right) + n\left( {{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2}} \right) = 0\) với \({m^2} + {n^2} > 0\)