Phương trình đường thẳng

1. Kiến thức cần nhớ

- Phương trình tham số của đường thẳng: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

ở đó \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là điểm thuộc dường thẳng và \(\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)\)  là VTCP của đường thẳng.

- Phương trình chính tắc của đường thẳng: \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\left( {a,b,c \ne 0} \right)\)

ở đó \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là điểm thuộc dường thẳng và \(\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)\)  là VTCP của đường thẳng.

- Đường thẳng \(Ox:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right);Oy:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = t\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right);Oz:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

- Đường thẳng \(AB\) có \(\overrightarrow {{u_{AB}}}  = \overrightarrow {AB} \)

- Đường thẳng \({d_1}//{d_2} \Rightarrow \overrightarrow {{u_1}}  = \overrightarrow {{u_2}} \)

2. Một số dạng phương trình mặt phẳng và đường thẳng

+) Đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng.

Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(d\).

- Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) thì \(\left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {{u_d}} \)  làm VTPT.

+) Đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng khác.

Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\) và song song với đường thẳng \(d,d'\).

- \(\left( P \right)\) song song với đường thẳng \(d,d'\) nên \(\left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right]\) làm VTPT.

+) Đi qua hai điểm và song song với đường thẳng.

Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(A,B\) và song song với đường thẳng \(d\).

- \(\left( P \right)\) đi qua \(A,B\) và song song với đường thẳng \(d\) nên nó đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right]\)

3. Một số dạng phương trình đường thẳng liên quan đến mặt phẳng

+) Đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng.

Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\)

- Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì nó nhận \(\overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_P}} \) làm VTCP.

+) Hình chiếu của một đường thẳng trên một mặt phẳng.

- Viết phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(d\) và vuông góc với \(\left( P \right)\)

(\(\left( Q \right)\) đi qua điểm \(M \in d\) và nhận \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right]\) làm VTPT).

- Đường thẳng \(d'\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) nên \(d':\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right)\\\left( Q \right)\end{array} \right.\)

+) Đường thẳng đi qua một điểm, vuông góc với đường thẳng và song song với mặt phẳng.

Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\), vuông góc với \(d'\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\).

- \(d \bot d',d//\left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_{d'}}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right]\)