Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác

1. Các kiến thức cần nhớ

Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác, bất đẳng thức tam giác

Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh kia.

Ta có bất đằng thức tam giác: \(\left| {AC - AB} \right| < BC < AC + AB\) hay \(\left| {b - c} \right| < a < b + c\)

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Xác định xem có tồn tại một tam giác với ba cạnh là ba độ dài cho trước hay không?

Phương pháp:

+ Tồn tại một tam giác có độ dài ba cạnh là \(a,b,c\) nếu

\(\left| {b - c} \right| < a < b + c\)

+  Trong các trường hợp xác định được \(a\) là số lớn nhất trong ba số $a,b,c$ thì điều kiện để tồn tại tam giác là \(a < b + c\)

Dạng 2: Xác định khoảng giá trị của một cạnh của tam giác

Phương pháp:

Sử dụng bất đẳng thức tam giác:

Trong tam giác có ba cạnh có độ dài \(a,b,c\) bao giờ cũng có bất đẳng thức \(\left| {b - c} \right| < a < b + c\). Từ bất đẳng thức này ta suy ra khoảng giá trị của \(a.\)

Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức về độ dài

Phương pháp:

Sử dụng bất đẳng thức tam giác và các biến đổi về bất đẳng thức. Chú ý đến các phép biến đổi sau:

+ Cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức \(a > b \Rightarrow a + c > b + c.\)

+ Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều:

\(\left. \begin{array}{l}a < b\\c < d\end{array} \right\} \Rightarrow a + c < b + d.\)

Dạng 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng hai độ dài

Phương pháp:

Với ba điểm \(M,B,C\) bất kì ta có \(BM + MC \ge BC.\) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(M\) thuộc đoạn \(BC\).

Như vậy, nếu độ dài đoạn \(BC\) không đổi thì tổng \(BM + MC\) nhỏ nhất bằng \(BC\) khi và chỉ khi \(M\) thuộc đoạn \(BC\).