Số e và logarit tự nhiên

1. Các kiến thức cần nhớ

a) Logarit tự nhiên

Định nghĩa:

Logarit cơ số \(e\) của 1 số dương \(a\) được gọi là logarit tự nhiên (logarit Nê-pe) của số \(a\) và kí hiệu là \(\ln a\).

\(\ln a = b \Leftrightarrow a = {e^b}\left( {a > 0} \right);e \approx 2,71828...\)

Tính chất:

Lôgarit tự nhiên có đầy đủ tính chất của logarit với cơ số lớn hơn 1.

b) Công thức lãi kép liên tục (hoặc công thức tăng trưởng mũ)

\(T = A.{e^{Nr}}\), ở đó \(A\) là số tiền gửi ban đầu, \(r\) là lãi suất, \(N\) là số kì hạn.

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức logarit tự nhiên.

Phương pháp:

- Bước 1: Biến đổi các biểu thức có chứa \(\ln \) sử dụng những tính chất của logarit tự nhiên.

- Bước 2: Thực hiện tính toán dựa vào thứ tự thực hiện phép tính:

+ Nếu không có ngoặc: Lũy thừa (căn bậc \(n\)) \( \to \) nhân, chia \( \to \) cộng, trừ.

+ Nếu có ngoặc: Thực hiện trong ngoặc \( \to \) lũy thừa (căn bậc \(n\)) \( \to \) nhân, chia \( \to \) cộng, trừ.

Dạng 2: So sánh các biểu thức có chứa logarit tự nhiên.

Phương pháp:

- Bước 1: Đơn giản các biểu thức đã cho bằng cách sử dụng tính chất của logarit và logarit tự nhiên.

- Bước 2: So sánh các biểu thức sau khi đơn giản, sử dụng một số tính chất của so sánh logarit.

Dạng 3: Biểu diễn một logarit hoặc rút gọn biểu thức có chứa logarit qua các logarit đã cho.

Phương pháp:

- Bước 1: Tách biểu thức cần biểu diễn ra để xuất hiện các logarit đề bài cho bằng cách sử dụng các tính chất của logarit.

- Bước 2: Thay các giá trị bài cho vào và rút gọn sử dụng thứ tự thực hiện phép tính:

+ Nếu không có ngoặc: Lũy thừa (căn bậc \(n\)) \( \to \) nhân, chia \( \to \) cộng, trừ.

+ Nếu có ngoặc: Thực hiện trong ngoặc \( \to \) lũy thừa (căn bậc \(n\)) \( \to \) nhân, chia \( \to \) cộng, trừ.

Dạng 4: Bài toán lãi kép liên tục.

Một người gửi vào ngân hàng số tiền \(A\) đồng, lãi suất \(r\) theo năm, tính số tiền có được sau \(N\) năm.

Phương pháp:

Sử dụng công thức tăng trưởng mũ:

\(T = A.{e^{Nr}}\), ở đó \(A\) là số tiền gửi ban đầu, \(r\) là lãi suất, \(N\) là số kì hạn.