Sử dụng phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm

1. Kiến thức cần nhớ

- Vi phân:

\(\begin{array}{l}t = u\left( x \right) \Rightarrow dt = u'\left( x \right)dx\\u\left( t \right) = v\left( x \right) \Rightarrow u'\left( t \right)dt = v'\left( x \right)dx\end{array}\)

- Công thức đổi biến:

\(\int {f\left[ {u\left( x \right)} \right]u'\left( x \right)dx}  = \int {f\left( t \right)dt} \) \( = F\left( t \right) + C = F\left( {t\left( x \right)} \right) + C\)

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến \(t = u\left( x \right)\).

- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), trong đó \(u\left( x \right)\) là hàm được chọn thích hợp.

- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).

- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).

- Bước 4: Tính nguyên hàm: \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {g\left( t \right)dt} \) \( = G\left( t \right) + C = G\left( {u\left( x \right)} \right) + C\).

Ví dụ: Tính nguyên hàm \(\int {2x\sqrt {{x^2} + 1} dx} \).

Giải:

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1}  \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 \) \( \Rightarrow 2tdt = 2xdx\).

Do đó: \(\int {2x\sqrt {{x^2} + 1} dx}  = \int {\sqrt {{x^2} + 1} .2xdx}  \) \(= \int {t.2tdt}  = \int {2{t^2}dt}  = \dfrac{2}{3}{t^3} + C \) \(= \dfrac{2}{3}\sqrt {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}}  + C\).

Dạng 2: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến \(x = u\left( t \right)\).

- Bước 1: Đặt \(x = u\left( t \right)\), trong đó \(u\left( t \right)\) là hàm số ta chọn thích hợp.

- Bước 2: Lấy vi phân 2 vế \(dx = u'\left( t \right)dt\).

- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx = f\left( {u\left( t \right)} \right).u'\left( t \right)dt = g\left( t \right)dt\).

- Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {g\left( t \right)dt}  = G\left( t \right) + C\)

Ví dụ: Cho nguyên hàm $I = \int {\sqrt {1 - {x^2}} \,{\rm{d}}x} ,\,\,\,x \in  \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]$, nếu đặt $x = \sin t$ thì nguyên hàm $I$ tính theo biến $t$ trở thành:

A. $I = t + \sin 2t + C.$

B. $I = \dfrac{t}{2} + \cos 2t + C.$

C. $I = \dfrac{t}{2} + \dfrac{{\sin 2t}}{4} + C.$

D. $I = \dfrac{t}{2} - \dfrac{{\cos 2t}}{4} + C.$

Giải:

Đặt $x = \sin t \Leftrightarrow dx = \cos t\,dt$ và $1 - {x^2} = 1 - {\sin ^2}t = {\cos ^2}t$

Suy ra

$\begin{array}{l}\int {\sqrt {1 - {x^2}} \,{\rm{d}}x}  = \int {\sqrt {{{\cos }^2}t} \,\cos t\,{\rm{d}}t}  = \int {{{\cos }^2}t\,{\rm{d}}t}  = \int {\dfrac{{1 + \cos 2t}}{2}\,{\rm{d}}t} \\ = \int {\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos 2t} \right){\rm{d}}t}  = \dfrac{t}{2} + \dfrac{{\sin 2t}}{4} + C.\end{array}$

(Vì \(x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow \cos x > 0\) \( \Rightarrow \sqrt {{{\cos }^2}x}  = \cos x\))

Vậy $I = \dfrac{t}{2} + \dfrac{{\sin 2t}}{4} + C.$

Chọn C.

Các dấu hiệu thường dùng phương pháp đổi biến trên là: