Sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân

1. Kiến thức cần nhớ

Công thức tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {\left( {uv} \right)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \)

Ví dụ: Tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {\ln tdt} .\)

Giải: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln t\\dv = dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dt}}{t}\\v = t\end{array} \right.\).

Khi đó \(I = t\ln t\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. - \int\limits_1^2 {dt}  = t\ln t\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. - t\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. = 2\ln 2 - 1.\)

2. Một số dạng toán thường áp dụng phương pháp tích phân từng phần.

Dạng 1: Hàm số logarit.

Tính tích phân \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx} \)  (trong đó \(f\left( x \right)\) là hàm số đa thức)

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {ax + b} \right)\\dv = f\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{a}{{ax + b}}dx\\v = \int {f\left( x \right)dx} \end{array} \right.\)

- Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx}  = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \)

Ví dụ: Tính tích phân \(I = \int\limits_1^e {x\ln x{\rm{d}}x.} \)

Giải: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dx}}{x}\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\).

Khi đó \(I = \dfrac{{{x^2}\ln x}}{2}\left| \begin{array}{l}^e\\_1\end{array} \right. - \dfrac{1}{2}\int\limits_1^e x  = \dfrac{{{e^2}}}{2} - \dfrac{{{x^2}}}{4}\left| \begin{array}{l}^e\\_1\end{array} \right. = \dfrac{{{e^2} + 1}}{4}\)

Dạng 2: Hàm số mũ.

Tính tích phân \(\int\limits_m^n {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx} \). (trong đó \(f\left( x \right)\) là hàm số đa thức)

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = {e^{ax + b}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}{e^{ax + b}}\end{array} \right.\)

- Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx}  = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \)

Ví dụ: Tính \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2x + 3} \right){e^x}{\rm{d}}x} \)

Giải: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 2x + 3\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\)

Khi đó \(I = \left. {\left( {2x + 3} \right){e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {2{e^x}dx}  = \left. {\left( {2x + 3} \right){e^x}} \right|_0^1 - \left. {2{e^x}} \right|_0^1 = 3e - 1.\)

Dạng 3: Hàm số lượng giác và hàm đa thức.

Tính tích phân \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx} \) hoặc \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx} \). (trong đó \(f\left( x \right)\) là hàm số đa thức)

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \sin \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v =  - \dfrac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \cos \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.\)

- Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx}  = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \) hoặc \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx}  = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \)

Ví dụ: Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {x\sin 2x{\rm{d}}x} \)

Giải: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \sin 2xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v =  - \dfrac{{\cos 2x}}{2}\end{array} \right..\)

Khi đó \(I =  - \dfrac{{x\cos 2x}}{2}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\dfrac{\pi }{4}}} \right. + \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\cos 2xdx}  =  - \dfrac{{x\cos 2x}}{2}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\dfrac{\pi }{4}}} \right. + \dfrac{{\sin 2x}}{4}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\dfrac{\pi }{4}}} \right. = \dfrac{1}{4}.\)

Dạng 4: Hàm số lượng giác và hàm số mũ.

Tính tích phân \(\int\limits_m^n {{e^{ax + b}}\sin \left( {cx + d} \right)dx} \) hoặc \(\int\limits_m^n {{e^{ax + b}}\cos \left( {cx + d} \right)dx} \).

- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \sin \left( {cx + d} \right)\\dv = {e^{ax + b}}dx\end{array} \right.\)  hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = \cos \left( {cx + d} \right)\\dv = {e^{ax + b}}dx\end{array} \right.\)

- Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {udv}  = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \).

- Đối với dạng toán này, ta cần thực hiện hai lần tích phân từng phần.

- Ở bước 1, các em cũng có thể đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \sin \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\)  hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \cos \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\)

Ví dụ: Tính \(K = \int\limits_0^\pi  {{e^x}\cos 2x{\rm{d}}x} \)

Giải: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \cos 2x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du =  - 2\sin 2xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.\)

Suy ra \(K = \left( {{e^x}\cos 2x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^\pi }\\{_0}\end{array}} \right. + 2\int\limits_0^\pi  {{e^x}\sin 2xdx}  = {e^\pi } - 1 + 2M\).

Tính \(M = \int\limits_0^\pi  {{e^x}\sin 2xdx} \).

Ta đặt \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \sin 2x\\d{v_1} = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d{u_1} = 2\cos 2x\\{v_1} = {e^x}\end{array} \right.\)

Suy ra \(M = \left( {{e^x}\sin 2x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^\pi }\\{_0}\end{array}} \right. - 2\int\limits_0^\pi  {{e^x}\cos 2x}  =  - 2K\).

Khi đó \(K = {e^\pi } - 1 + 2\left( { - 2K} \right) \Leftrightarrow 5K = {e^\pi } - 1 \Leftrightarrow K = \dfrac{{{e^\pi } - 1}}{5}\).