Tích của một véc tơ với một số

1. Định nghĩa

Tích của vectơ $\overrightarrow a $ với số thực \(k \ne 0\) là một vectơ, kí hiệu là $k\overrightarrow a $, cùng hướng với $\overrightarrow a $ nếu $k > 0$, ngược hướng với $\overrightarrow a $ nếu $k < 0$ và có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\)

Quy ước: $0\overrightarrow a  = \overrightarrow 0 $ và $k\overrightarrow 0  = \overrightarrow 0 $

2. Tính chất

$\begin{array}{l}{\rm{ i}}){\rm{ }}(k{\rm{ }} + {\rm{ }}m)\overrightarrow a  = k\overrightarrow a  + m\overrightarrow a \\ {\rm{ii}}){\rm{ }}k(\overrightarrow a  \pm \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a  \pm k\overrightarrow b \\{\rm{iii}})\,\,k(m\overrightarrow a ){\rm{ }} = {\rm{ }}(km)\overrightarrow a \\{\rm{ iv}})\,\,\,k\overrightarrow a  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 0\\\overrightarrow a  = \overrightarrow 0 \end{array} \right.\\{\rm{v)  1}}\overrightarrow a  = \overrightarrow a ,\,\,\,( - {\rm{1)}}\overrightarrow a  =  - \overrightarrow a \end{array}$

3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

+) $\overrightarrow b $ cùng phương $\overrightarrow a $($\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 $) khi và chỉ khi có số \(k\) thỏa  $\overrightarrow b  = k\overrightarrow a $

+) Điều kiện cần và đủ để  $A,B,C$  thẳng hàng là có số $k$ sao cho $\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} $

4. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Cho $\overrightarrow a $ không cùng phương $\overrightarrow b $. Với mọi vectơ $\overrightarrow x $ luôn được biểu diễn $\overrightarrow x  = m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b $ với \(m,\,\,n\) là các số thực duy nhất.

Phương pháp phân tích một véc tơ qua hai véc tơ không cùng phương

Sử dụng các quy tắc ba điểm (xen thêm điểm vào giữa để làm xuất hiện các véc tơ không cùng phương đề bài yêu cầu), các tính chất trung điểm, trọng tâm, tích của một véc tơ với một số để biến đổi làm sao cho xuất hiện.

Một kết quả hay được sử dụng khi phân tích một véc tơ qua hai véc tơ không cùng phương như sau:

Cho đoạn thẳng \(AB\), một điểm \(I \in AB\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  = k\overrightarrow {IB} \) thì với điểm \(M\) bất kì ta luôn có:

\(\overrightarrow {MI}  = \dfrac{{ - 1}}{{k - 1}}\overrightarrow {MA}  + \dfrac{k}{{k - 1}}\overrightarrow {MB} \)

Chứng minh:

Ta có:

\(\overrightarrow {MI}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AI} \) \( = \overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {IA} \) \( = \overrightarrow {MA}  - k\overrightarrow {IB} \) \( = \overrightarrow {MA}  - k\left( {\overrightarrow {IM}  + \overrightarrow {MB} } \right)\) \( = \overrightarrow {MA}  - k\overrightarrow {IM}  - k\overrightarrow {MB} \) \( = \overrightarrow {MA}  + k\overrightarrow {MI}  - k\overrightarrow {MB} \)

Suy ra \(  \overrightarrow {MI}= \overrightarrow {MA}  + k\overrightarrow {MI}  - k\overrightarrow {MB} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MI}  - k\overrightarrow {MI}  = \overrightarrow {MA}  - k\overrightarrow {MB} \) \( \Leftrightarrow \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {MI}  = \overrightarrow {MA}  - k\overrightarrow {MB} \) \( \Leftrightarrow \left( {k - 1} \right)\overrightarrow {MI}  =  - \overrightarrow {MA}  + k\overrightarrow {MB} \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {MI}  = \dfrac{{ - 1}}{{k - 1}}\overrightarrow {MA}  + \dfrac{k}{{k - 1}}\overrightarrow {MB} \) (đpcm)