Tích phân - Khái niệm và tính chất

1. Khái niệm tích phân

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right],F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Hiệu \(F\left( b \right) - F\left( a \right)\) được gọi là tích phân của \(f\) từ \(a\) đến \(b\). Kí hiệu:

$I = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)$

2. Tính chất tích phân

Giả sử các hàm số \(f,g\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right],c\) là điểm bất kì thuộc \(\left[ {a;b} \right]\). Khi đó ta có:

a) \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx}  = 0\)

b) \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  =  - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \)

c) \(\int\limits_a^b {k.f\left( x \right)dx}  = k.\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)

d) \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^b {f\left( t \right)dt} \)

e) \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} ;\) \(\forall b \in \left[ {a;c} \right]\)

f) \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx} \) \(= \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \pm \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \)

g) Nếu \(f\left( x \right) \ge 0\) thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \ge 0\)

h) Nếu \(f\left( x \right) \ge g\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;b} \right]\) thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \ge \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \).