Phương pháp:

- Bước 1: Tính \(y'\).

- Bước 2: Nêu điều kiện để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thỏa mãn điều kiện:

+ Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) lập thành một tam giác vuông (vuông cân)

\( \Leftrightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(A \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\) .

Khi đó:

\(y' = 4a{x^3} + 2bx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} \end{array} \right.\)\( \Rightarrow A\left( {0;c} \right),B\left( { - \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ;c - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}}} \right),C\left( {\sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ;c - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}}} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ; - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}}} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {\sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ; - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}}} \right)\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{b}{{2a}} + \dfrac{{{b^4}}}{{16{a^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow 8ab + {b^4} = 0\\ \Leftrightarrow 8a + b^3 = 0\\ \Leftrightarrow b =  -2\sqrt[3]{a}\end{array}\)

Đây là công thức tính nhanh trong bài toán trắc nghiệm.

+ Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) tạo thành tam giác đều \( \Leftrightarrow AB = BC = CA\).

+ Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) tạo thành tam giác có diện tích \({S_0}\) cho trước

\( \Leftrightarrow {S_0} = \dfrac{1}{2}AH.BC\) với \(H\) là trung điểm của \(BC\).

+ Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) tạo thành tam giác có diện tích \({S_0}\) lớn nhất

\( \Leftrightarrow \) Tìm \(\max {S_0}\) với \({S_0} = \dfrac{1}{2}AH.BC,H\) là trung điểm của \(BC\).

+ Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) tạo thành tam giác cân có góc ở đỉnh bằng \(\alpha \) cho trước

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \cos \alpha \)

+ Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) tạo thành tam giác có ba góc nhọn

\( \Leftrightarrow \alpha \) là góc ở đỉnh phải nhọn \( \Leftrightarrow \cos \alpha  = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} > 0\)

- Bước 3: Kết luận.