1. Giải và biện luận bất phương trình dạng $ax + b < 0$

Cho bất phương trình $ax + b < 0\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Dưới đây là phương pháp giải và biện luận bất phương trình $ax + b < 0$. Các bất phương trình $ax + b \le 0, ax + b > 0$, $ax + b \ge 0$ được làm tương tự.

Ví dụ: Giải và biện luận: $mx + 1 < 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$.

- Nếu $m > 0$ thì $\left( 1 \right) \Leftrightarrow x  < - \dfrac{1}{m}$ nên tập nghiệm $S = \left( { - \infty ; - \dfrac{1}{m}} \right)$.

- Nếu $m < 0$ thì $\left( 1 \right) \Leftrightarrow x >  - \dfrac{1}{m}$ nên tập nghiệm $S = \left( { - \dfrac{1}{m}; + \infty } \right)$.

- Nếu $m = 0$ thì $\left( 1 \right)$ trở thành $1 < 0$ (sai) nên bất phương trình vô nghiệm.

Kết luận:

+) Nếu $m > 0$ thì bất phương trình có tập nghiệm $S = \left( { - \infty ; - \dfrac{1}{m}} \right)$

+) Nếu $m < 0$ thì bất phương trình có tập nghiệm $S = \left( { - \dfrac{1}{m}; + \infty } \right)$

+) Nếu $m = 0$ thì bất phương trình vô nghiệm.

2. Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Ví dụ: Giải hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2x - 4 < 0\\3 - 2x >  - 3\end{array} \right.$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}2x - 4 < 0\\3 - 2x >  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x < 4\\ - 2x >  - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 2\\x < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x < 2$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { - \infty ;2} \right)$