1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: $\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0;a{'^2} + b{'^2} \ne 0} \right)$

- Mỗi cặp số $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ được gọi là một nghiệm của hệ.

- Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

2. Giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hệ $\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0;a{'^2} + b{'^2} \ne 0} \right)$

Phương pháp:

- Bước 1: Tính các giá trị:

 $\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}a\\a'\end{array}&\begin{array}{l}b\\b'\end{array}\end{array}} \right| = ab' - a'b\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}c\\c'\end{array}&\begin{array}{l}b\\b'\end{array}\end{array}} \right| = cb' - c'b\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}a\\a'\end{array}&\begin{array}{l}c\\c'\end{array}\end{array}} \right| = ac' - a'c\end{array}$

- Bước 2: Biện luận nghiệm của hệ phương trình:

a) Nếu $D \ne 0$ thì hệ có một nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right)$, trong đó: $x = \dfrac{{{D_x}}}{D};y = \dfrac{{{D_y}}}{D}$

b) Nếu $D = 0$ và:

+) ${D_x} \ne 0$ hoặc ${D_y} \ne 0$ thì hệ vô nghiệm.

+) ${D_x} = {D_y} = 0$ thì hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm của hệ là tập nghiệm của phương trình $ax + by = c$

- Bước 3: Kết luận

Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}mx + y = m + 1\\x + my = 2\end{array} \right.$

- Bước 1: Tính:

$\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}m\\1\end{array}&\begin{array}{l}1\\m\end{array}\end{array}} \right| = {m^2} - 1 = \left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right)\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}m + 1\\2\end{array}&\begin{array}{l}1\\m\end{array}\end{array}} \right| = {m^2} + m - 2 = \left( {m - 1} \right)\left( {m + 2} \right)\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}m\\1\end{array}&\begin{array}{l}m + 1\\2\end{array}\end{array}} \right| = 2m - m - 1 = m - 1\end{array}$

- Bước 2: Biện luận:

+) Nếu $D \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 1$ thì hệ có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right)$ với:

$\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{{D_x}}}{D} = \dfrac{{\left( {m - 1} \right)\left( {m + 2} \right)}}{{\left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right)}} = \dfrac{{m + 2}}{{m + 1}}\\y = \dfrac{{{D_y}}}{D} = \dfrac{{m - 1}}{{\left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right)}} = \dfrac{1}{{m + 1}}\end{array} \right.$

+) Nếu $D = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 1\end{array} \right.$ thì:

TH1: $m = 1$ thì ${D_x} = {D_y} = 0$, hệ trở thành $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x + y = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = 2 - x\end{array} \right.$

TH2: $m =  - 1$ thì ${D_x} \ne 0$ nên hệ vô nghiệm.

- Bước 3: Kết luận:

+) Với $m \ne  \pm 1$ thì hệ có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right)$ là $\left( {\dfrac{{m + 2}}{{m + 1}};\dfrac{1}{{m + 1}}} \right)$

+) Với $m = 1$ thì hệ có vô số nghiệm $\left( {x;y} \right)$ là $\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = 2 - x\end{array} \right.$

+) Với $m =  - 1$ thì hệ vô nghiệm.