I. Tính đối xứng của hypebol

Trong mặt phẳng Oxy,xét hypebol có phương trình chính tắc $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > 0;b > 0} \right)$:

Chú ý: Nếu điểm $M\left( {x;y} \right)$ nằm trên hypebol (H) thì các điểm ${M_1}\left( {x; - y} \right),{M_2}\left( { - x;y} \right),{M_3}\left( { - x; - y} \right)$ cũng nằm trên hypebol (H).

II. Hình chữ nhật cơ sở của hypebol

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ với $a > 0,{\rm{ }}b > 0$. Khi đó, ta có:

III. Tâm sai của hypebol

Nhận xét:

+ $e = \dfrac{c}{a} > 1$

+ $e = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{a} = \sqrt {1 + {{\left( {\dfrac{b}{a}} \right)}^2}}$

Ví dụ:

Tìm tâm sai của hypebol $\left( H \right):\dfrac{{{x^2}}}{{64}} - \dfrac{{{y^2}}}{{36}} = 1$.

Giải

Ta có $a = 8,b = 6$ suy ra $c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 10$

Vậy tâm sai của (H) là $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{10}}{8} = \dfrac{5}{4}$.

IV. Bán kính qua tiêu của một điểm thuộc hypebol

Ví dụ:

Cho hypebol $\dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{{{y^2}}}{{21}} = 1$. Tính độ dài bán kính qua tiêu của một điểm M thuộc hypebol và có hoành độ bằng -10.

Giải

Ta có: ${a^2} = 4;\,{b^2} = 21 \Rightarrow a = 4,\,b = \sqrt {21}$ và $c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 5$.

Do đó, hypebol có 2 tiêu điểm là ${F_1}\left( { - 5;0} \right),\,{F_2}\left( {5;0} \right)$.

Điểm M thuộc hypebol và có hoành độ ${x_0} = - 10$ nên:

$M{F_1} = \left| {a + \dfrac{c}{a}{x_0}} \right| = \left| {2 + \dfrac{5}{2}.\left( { - 10} \right)} \right| = 23$

$M{F_2} = \left| {a - \dfrac{c}{a}{x_0}} \right| = \left| {2 - \dfrac{5}{2}.\left( { - 10} \right)} \right| = 27$

V. Đường chuẩn của hypebol

Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ và có hai tiêu điểm ${F_1}\left( {-c;0} \right),{F_2}\left( {c;0} \right).$

Với mọi điểm M thuộc hypebol, ta luôn có $\dfrac{{M{F_1}}}{{d\left( {M;{\Delta _1}} \right)}} = \dfrac{{M{F_2}}}{{d\left( {M;{\Delta _2}} \right)}} = e$.

Chú ý: Vì $- a < - \dfrac{a}{e} < \dfrac{a}{e} < a$ nên đường chuẩn của hypebol không có điểm chung với hypebol đó.

Ví dụ:

Cho điểm $M\left( {x;y} \right)$ trên hypebol (H):$\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$

a) Tìm toạ độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng.

b) Tính tỉ số khoảng cách từ M đến tiêu điểm và đến đường chuẩn tương ứng.

Giải

Ta có $a = 4;{\rm{ }}b = 3,$ suy ra $c = \sqrt {a^2 + b^2}  = 5,e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{5}{4};\,\,\dfrac{a}{e} = \dfrac{{{a^2}}}{c} = \dfrac{{16}}{5}$

a) Ứng với tiêu ${F_1}\left( {-5;0} \right)$, ta có đường chuẩn ${\Delta _1}:\,x + \dfrac{{16}}{5} = 0$

  Ứng với tiêu điểm ${F_{_2}}\left( {5;0} \right)$ta có đường chuẩn ${\Delta _2}:\,x - \dfrac{{16}}{5} = 0$

b) Ta có $\dfrac{{M{F_1}}}{{d\left( {M;{\Delta _1}} \right)}} = \dfrac{{M{F_2}}}{{d\left( {M;{\Delta _2}} \right)}} = e = \dfrac{5}{4}$