1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $\left( {a;b} \right)$ và điểm ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$.

Định nghĩa: Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là có đạo hàm tại $x = {x_0}$, kí hiệu $f'\left( {{x_0}} \right)$ nếu giới hạn

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = f'\left( {{x_0}} \right)$ tồn tại hữu hạn.

Ở đó,   $\Delta x = x - {x_0}$ là số gia của biến số tại điểm ${x_0}$.

$\Delta y = f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right) = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)$ là số gia của hàm số.

Ví dụ: Tính số gia của hàm số $y = {x^2}$ ứng với số gia $\Delta x$ của biến số tại điểm ${x_0} =  - 2$.

Ta có: $\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = {\left( {{x_0} + \Delta x} \right)^2} - x_0^2 = x_0^2 + 2{x_0}.\Delta x + {\left( {\Delta x} \right)^2} - x_0^2 = {\left( {\Delta x} \right)^2} + 2{x_0}.\Delta x$

Vậy tại ${x_0} =  - 2$ thì $\Delta y = {\left( {\Delta x} \right)^2} + 2{x_0}.\Delta x = {\left( {\Delta x} \right)^2} + 2\left( { - 2} \right).\Delta x = {\left( {\Delta x} \right)^2} - 4\Delta x$.

2. Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số tại một điểm

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số $y = {x^2}$ tại điểm ${x_0} =  - 2$.

- Bước 1: Ta có: $f\left( x \right) - f\left( { - 2} \right) = {x^2} - {\left( { - 2} \right)^2} = {x^2} - 4$

- Bước 2:

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - \left( { - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \dfrac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \left( {x - 2} \right) =  - 2 - 2 =  - 4$

Vậy $f'\left( { - 2} \right) =  - 4$.

Ví dụ: Xét hàm số $y = \left| x \right|$ liên tục tại ${x_0} = 0$.

Tính: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left| x \right| - 0}}{{x - 0}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left| x \right|}}{x}$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{x}{x} = 1;$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{x}{x} =  - 1$ $\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x}$

Vậy không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left| x \right|}}{x}$.

Do đó không tồn tại đạo hàm của hàm số tại $x = 0$.