Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)

(Áp dụng cho những bài toán không tách riêng được \(m\) và \(x\))

Phương pháp:

- Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm \(f\left( x \right) = 0\)

- Bước 2: Tính \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c,\Delta ' = {b^2} - 3ac\)

- Bước 3: Nêu điều kiện để phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm:

+) Phương trình có \(1\) nghiệm duy nhất nếu đồ thị hàm số không có điểm cực trị nào hoặc có hai điểm cực trị cùng nằm về một phía đối với trục hoành

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta ' \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\f\left( {{x_1}} \right).f\left( {{x_2}} \right) > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) với \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(y' = 0\).

+) Phương trình có 2 nghiệm nếu \(f\left( {{x_1}} \right) = 0\) hoặc \(f\left( {{x_2}} \right) = 0\) với \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(y' = 0\).

+) Phương trình có 3 nghiệm phân biệt nếu đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\f\left( {{x_1}} \right).f\left( {{x_2}} \right) < 0\end{array} \right.\)

- Bước 4: Kết luận giá trị cần tìm của \(m\).