1. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị $\left( C \right)$, viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right) \in \left( C \right)$.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y' = f'\left( x \right) \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right)$.

- Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)$

- Bước 3: Kết luận.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị $\left( C \right)$, viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ biết tiếp tuyến đi qua điểm $M\left( {{x_M};{y_M}} \right)$.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y' = f'\left( x \right)$.

- Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ ${x_0}$ của $\left( C \right)$: $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)$.

- Bước 3: Thay tọa độ $\left( {{x_M};{y_M}} \right)$ vào phương trình trên, giải phương trình tìm ${x_0}$.

- Bước 4: Thay mỗi giá trị ${x_0}$ tìm được vào phương trình tiếp tuyến ta được phương trình cần tìm.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị $\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ biết nó có hệ số góc $k$.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y' = f'\left( x \right)$.

- Bước 2: Giải phương trình $f'\left( x \right) = k$ tìm nghiệm ${x_1},{x_2},...$.

- Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại các điểm $\left( {{x_1};f\left( {{x_1}} \right)} \right),\left( {{x_2};f\left( {{x_2}} \right)} \right),...$

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị $\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ biết nó có hệ số góc nhỏ nhất, lớn nhất.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y' = f'\left( x \right)$.

- Bước 2: Tìm GTNN (hoặc GTLN) của $f'\left( x \right)$ suy ra hệ số góc của tiếp tuyến và hoành độ tiếp điểm (là giá trị mà $f'\left( x \right)$ đạt GTNN, GTLN).

- Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm vừa tìm được.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị $\left( C \right)$.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y' = f'\left( x \right)$.

- Bước 2: Nêu điều kiện về mối quan hệ giữa tiếp tuyến có hệ số góc $k = f'\left( x \right)$ với đường thẳng $d$ có hệ số góc $k'$.

+ Tiếp tuyến vuông góc $d \Leftrightarrow k.k' =  - 1$.

+ Tiếp tuyến song song với $d \Leftrightarrow k = k'$.

+ Góc tạo bởi tiếp tuyến của $(C)$ với $d$ bằng $\alpha  \Leftrightarrow \tan \alpha  = \left| {\dfrac{{{k} - {k'}}}{{1 + {k}{k'}}}} \right|$

- Bước 3: Giải phương trình ở trên tìm nghiệm ${x_1},{x_2},...$ và tọa độ các tiếp điểm.

- Bước 4: Viết phương trình các tiếp tuyến tại các tiếp điểm vừa tìm được.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị $\left( C \right)$. Tìm $m$ để tiếp tuyến với $\left( C \right)$ đi qua điểm $M\left( {{x_M};{y_M}} \right)$ cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ ${x_0}$ thuộc $\left( C \right)$: $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)$

- Bước 2: Nêu điều kiện để tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện đề bài:

Tiếp tuyến đi qua điểm $M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \Leftrightarrow pt{\rm{ }}{y_M} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {{x_M} - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)$ có nghiệm.

- Bước 3: Tìm điều kiện của $m$ dựa vào điều kiện ở trên và kết luận.

2. Sự tiếp xúc của các đồ thị hàm số

Cho $\left( C \right):y = f\left( x \right)$ và $\left( {C'} \right):y = g\left( x \right)$.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $f'\left( x \right),g'\left( x \right)$.

- Bước 2: Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.$.

- Bước 3: Kết luận:

+ Nếu hệ có nghiệm thì $\left( C \right)$ và $\left( {C'} \right)$ tiếp xúc.

+ Nếu hệ vô nghiệm thì $\left( C \right)$ và $\left( {C'} \right)$ không tiếp xúc.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $f'\left( x \right),g'\left( x \right)$.

- Bước 2: Nêu điều kiện để hai đồ thị hàm số tiếp xúc:

$\left( C \right)$ và $\left( {C'} \right)$ tiếp xúc nếu và chỉ nếu hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.$ có nghiệm.

- Bước 3: Tìm $m$ từ điều kiện trên và kết luận.