Cho tam giác (ABC ) vuông tại (A ), (BC = acăn 3 ), (M ) là trung điểm của (BC ) và có ( overrightarrow (AM) . overrightarrow (BC)  = (((a^2)))(2) ). Tính cạnh (AB ), (AC ).

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ và nội tiếp trong đường tròn tâm $O$ bán kính $R$. Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Khi đó tỉ số $\dfrac{R}{r}$ bằng

Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $18\,{\rm{cm}}$. Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\left| {2\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MB}  + 4\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB} } \right|$ là

Muốn đo chiều cao của tháp chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận người ta lấy hai điểm $A$ và $B$ trên mặt đất có khoảng cách $AB = 12\,{\rm{m}}$ cùng thẳng hàng với chân $C$ của tháp để đặt hai giác kế. Chân của giác kế có chiều cao $h = 1,3\,{\rm{m}}$. Gọi $D$ là đỉnh tháp và hai điểm ${A_1}$, ${B_1}$ cùng thẳng hàng với ${C_1}$ thuộc chiều cao $CD$ của tháp. Người ta đo được góc $\widehat {D{A_1}{C_1}} = 49^\circ$ và $\widehat {D{B_1}{C_1}} = 35^\circ$. Tính chiều cao $CD$ của tháp.

Trên nóc một tòa nhà có cột ăng-ten cao $5\,{\rm{m}}$. Từ vị trí quan sát $A$ cao $7\,{\rm{m}}$ so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh $B$ và chân $C$ của cột ăng-ten dưới góc $50^\circ$ và $40^\circ$ so với phương nằm ngang (như hình vẽ bên). Chiều cao của tòa nhà (được làm tròn đến hàng phần mười) là:

Cho tam giác $ABC$ có $a = 5$ ${\rm{cm}}$, $c = 9$ ${\rm{cm}}$, $\cos C =  - \dfrac{1}{{10}}$. Tính độ dài đường cao ${h_a}$ hạ từ $A$ của tam giác $ABC$.

Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và điểm $M$ thỏa mãn $MO = 3R$. Một đường kính $AB$ thay đổi trên đường tròn. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = MA + MB$.

Từ một miếng tôn có hình dạng là nửa đường tròn bán kính $1\;{\rm{m}}$, người ta cắt ra một hình chữ nhật. Hỏi có thể cắt được miếng tôn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

Cho $\overrightarrow u  = \overrightarrow a  + 3\overrightarrow b$ vuông góc với $\overrightarrow v  = 7\overrightarrow a  - 5\overrightarrow b$ và $\overrightarrow x  = \overrightarrow a  - 4\overrightarrow b$ vuông góc với $\overrightarrow y  = 7\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b$. Khi đó góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ bằng

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $BC = a\sqrt 3$, $M$ là trung điểm của $BC$ và có $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC}  = \dfrac{{{a^2}}}{2}$. Tính cạnh $AB$, $AC$.

Đoạn thẳng $AB$ có độ dài $2a$, $I$ là trung điểm $AB$. Khi $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = 3{a^2}$. Độ dài $MI$ là:

Cho tam giác $ABC$ đều cạnh bằng $a$. Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $4M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = \dfrac{{5{a^2}}}{2}$ nằm trên một đường tròn $\left( C \right)$ có bán kính $R$. Tính $R$.

Biết $\sin \alpha  = \dfrac{{\sqrt {2017}  + 1}}{{2018}},$ $90^\circ  < \alpha  < 180^\circ$. Tính giá trị của biểu thức $M = \cot \alpha  + \dfrac{{\sin \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}$.

Trong hệ trục tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A\left( {1;\,3} \right)$, $B\left( { - 1;\, - 1} \right)$, $C\left( {1;\,1} \right)$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ có tâm $I\left( {a;\,b} \right)$. Giá trị $a + b$ bằng

Cho hình thang cân $ABCD$ có đáy nhỏ $AB$, đáy lớn $CD$. Biết $AB = AD$ và $\tan \widehat {BDC} = \dfrac{3}{4}$. Tính $\cos \widehat {BAD}$.

Cho ba véc-tơ $\overrightarrow a$, $\overrightarrow b$, $\overrightarrow c$ thỏa mãn: $\left| {\overrightarrow a } \right| = 4$, $\left| {\overrightarrow b } \right| = 1$, $\left| {\overrightarrow c } \right| = 5$ và $5\left( {\overrightarrow b  - \overrightarrow a } \right) + 3\overrightarrow c  = \overrightarrow 0$. Khi đó biểu thức $M = \overrightarrow {a\,} .\overrightarrow {b\,}  + \overrightarrow {b\,} .\overrightarrow {c\,}  + \overrightarrow {c\,} .\overrightarrow {a\,}$ có giá trị là

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $1$. Hai điểm $M$, $N$ thay đổi lần lượt ở trên cạnh $AB$, $AD$ sao cho $AM = x\left( {0 \le x \le 1} \right)$, $DN = y\left( {0 \le y \le 1} \right)$. Tìm mối liên hệ giữa $x$ và $y$ sao cho $CM \bot BN$.

Trong tam giác $ABC$ có

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A\left( {3\,;\,4} \right)$, $B\left( {2\,;\,1} \right)$, $C\left( { - 1\,;\, - 2} \right)$. Gọi $M\left( {x\,;\,y} \right)$ là điểm trên đường thẳng $BC$ sao cho ${S_{\Delta ABC}} = 4{S_{\Delta ABM}}$. Tính $P = x.y$.