I. Phân số

a) Định nghĩa phân số

Người ta gọi $\dfrac{a}{b}$ với $a,b \in Z;b \ne 0$ là một phân số, $a$ là tử số (tử), $b$ là mẫu số (mẫu) của phân số.

b) Hai phân số bằng nhau

Hai phân số $\dfrac{a}{b}$ và $\dfrac{c}{d}$ gọi là bằng nhau nếu $a.d = b.c$

c) Hai tính chất cơ bản của phân số

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{{a.m}}{{b.m}}$ với $m \in Z$ và $m \ne 0$ .

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{{a:n}}{{b:n}}$ với $n \in$ ƯC$\left( {a;b} \right)$.

II. Rút gọn phân số

+) $\dfrac{a}{b} = \dfrac{{a:n}}{{b:n}}$ ($n$ là ước chung của $a$ và $b$).

+) Nếu $a,b$ chỉ có ước chung là $1$ và $- 1$ thì phân số $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản.

III. Quy đồng phân số

Muốn quy đồng mẫu nhiều phân số với mẫu dương ta là như sau :

Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu (thường là BCNN) để là mẫu chung.

Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu).

Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.

IV. So sánh hai phân số

a) So sánh hai phân số cùng mẫu

- Trong hai phân số có cùng một mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.

b) So sánh hai phân số không cùng mẫu

- Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau: phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.

V. Hỗn số, số đối, phân số nghịch đảo

a) Hỗn số

Cho $a$ và $b$ là hai số nguyên dương, $a > b$, $a$ không chia hết cho $b$. Nếu $a$ chia cho $b$ được thương là $q$ và số dư là $r$, thì ta viết $\dfrac{a}{b} = q\dfrac{r}{b}$ và gọi $q\dfrac{r}{b}$ là hỗn số.

b) Số đối

Số đối của phân số $\dfrac{a}{b}$ là $- \dfrac{a}{b}$.

c) Phân số nghịch đảo

Phân số nghịch đảo của phân số $\dfrac{a}{b}$ là $\dfrac{b}{a}$

VI. Cộng, trừ phân số

a) Cộng hai phân số cùng mẫu

Muốn cộng hai phân số cùng mẫu, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu.

$\dfrac{a}{m} + \dfrac{b}{m} = \dfrac{{a + b}}{m}$

b) Cộng hai phân số khác mẫu

Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số cùng mẫu rồi cộng các tử với nhau và giữ nguyên mẫu chung.

c) Qui tắc trừ hai phân số

Muốn trừ một phân số cho một phân số, ta cộng số bị trừ với số đối của số trừ.

$\dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} + \left( { - \dfrac{c}{d}} \right)$

VII. Nhân, chia phân số

a) Nhân hai phân số

+ Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử số với nhau và nhân các mẫu với nhau.

$\dfrac{a}{b}.\dfrac{c}{d} = \dfrac{{a.c}}{{b.d}}$ $(b,d \ne 0$)

+ Muốn nhân một số nguyên với một phân số (hoặc một phân số với một số nguyên), ta nhân số nguyên với tử của phân số và giữ nguyên mẫu: 

$a.\dfrac{b}{c} = \dfrac{{a.b}}{c}$ $(c \ne 0)$

b) Chia hai phân số

Muốn chia một phân số hay một số nguyên cho một phân số, ta nhân số bị chia với số nghịch đảo của số chia.

$\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b}.\dfrac{d}{c} = \dfrac{{a.d}}{{b.c}}$ $(b,c \ne 0$)

$a:\dfrac{c}{d} = a.\dfrac{d}{c} = \dfrac{{a.d}}{c}\left( {c \ne 0} \right)$

VIII. Hai bài toán về phân số

Bài toán 1: Tìm giá trị phân số của một số cho trước

Muốn tìm $\dfrac{m}{n}$ của số $b$ cho trước, ta tính $b.\dfrac{m}{n}$ $\left( {m,n \in \mathbb{N},n \ne 0} \right)$

Bài toán 2: Tìm một số biết giá trị một phân số của nó

Muốn tìm một số biết $\dfrac{m}{n}$của nó bằng $a$, ta tính $a:\dfrac{m}{n}$ $\left( {m,n \in \mathbb{N}*} \right)$.

IX. Số thập phân

a) Số thập phân, số đối

- Phân số thập phân là là phân số mà mẫu là lũy thừa của $10$.

- Hai số thập phân gọi là đối nhau khi chúng biểu diễn hai phân số thập phân đối nhau.

b) So sánh hai số thập phân

- Số thập phân âm nhỏ hơn $0$ và nhỏ hơn số thập phân dương

- Nếu $a,b$ là hai số thập phân dương và $a > b$ thì $- a < - b$.

X. Tính toán với số thập phân

a) Cộng, trừ số thập phân

Cộng hai số thập phân âm:

$\left( { - a} \right) + \left( { - b} \right) = - \left( {a + b} \right)$ với $a,\,\,b > 0$

Cộng hai số thập phân khác dấu:

$\left( { - a} \right) + b = b - a$ nếu $0 < a \le b$;

$\left( { - a} \right) + b = - \left( {a - b} \right)$ nếu $a > b > 0$.

Phép trừ hai số thập phân được đưa về phép cộng với số đối:

$a - b = a + \left( { - b} \right)$.

b) Nhân hai số thập phân

Nhân hai số cùng dấu:

$\left( { - a} \right).\left( { - b} \right) = a.b$ với $a,\,\,b > 0$.

Nhân hai số khác dấu:

$\left( { - a} \right).b = a.\left( { - b} \right) = - \left( {a.b} \right)$ với $a,\,b > 0$.

b) Chia hai số thập phân

Chia hai số cùng dấu:

$\left( { - a} \right):\left( { - b} \right) = a:b$ với $a,\,\,b > 0$.

Chia hai số khác dấu:

$\left( { - a} \right):b = a:\left( { - b} \right) = - \left( {a:b} \right)$ với $a,\,b > 0$.

XI. Tỉ số, tỉ số phần trăm

a) Tỉ số

- Tỉ số của hai số $a$ và $b$ tùy ý $\left( {b \ne 0} \right)$ là thương của phép chia số $a$ cho số $b$. Kí hiệu là $a:b$ hoặc $\dfrac{a}{b}$.

- Tỉ số của hai đại lượng cùng loại và cùng đơn vị đo là tỉ số giữa hai số đo của hai đại lượng đó.

b) Tỉ số phần trăm

Tỉ số phần trăm của a và b là $\dfrac{a}{b}.100\%$.

c) Hai bài toán về tỉ số phần trăm

- Muốn tìm giá trị $a\%$ của số b, ta tính: $b.\,a\% = b.\dfrac{a}{{100}}$

- Muốn tìm mốt số khi biết $m\%$ của số đó là $b$, ta tính: $b:\dfrac{m}{{100}}$