1. Dạng vô định $\dfrac{0}{0}$

Bài toán:

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 0$, trong đó $f\left( x \right),g\left( x \right)$ là các đa thức hoặc căn thức.

Phương pháp:

- Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành tích các nhân tử.

- Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu.

- Bước 3: Tính giới hạn theo cách thông thường.

Nếu $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ có chứa căn thức thì có thể nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp trước khi phân tích chúng thành tích và giản ước.

Ví dụ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{x - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{1}{{x - 1}} = \dfrac{1}{{2 - 1}} = 1$

2. Dạng vô định $\dfrac{\infty }{\infty }$

Bài toán: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } g\left( x \right) =  \pm \infty$, trong đó $f\left( x \right),g\left( x \right)$ là các đa thức.

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu ra làm nhân tử chung.

- Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của $x$.

- Bước 3: Tính các giới hạn thông thường và suy ra kết quả.

Ví dụ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{2x}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2}\left( {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}{{2x}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\left| x \right|\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{2x}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{ - x\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{2x}} =  - \dfrac{1}{2}$

Cần xét xem $x \to  + \infty ,x \to  - \infty$ khi khai căn biểu thức có chứa căn bậc hai.

3. Dạng vô định $0.\infty$

Bài toán: Tính giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) =  \pm \infty$.

Phương pháp:

- Bước 1: Biến đổi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{\dfrac{1}{{g\left( x \right)}}}}$ để đưa về dạng $\dfrac{0}{0}$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{g\left( x \right)}}{{\dfrac{1}{{f\left( x \right)}}}}$ để đưa về dạng $\dfrac{\infty }{\infty }$.

- Bước 2: Sử dụng các phương pháp của dạng 1 và 2 để tính tiếp giới hạn.

4. Dạng vô định $\infty - \infty$

Bài toán: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) =  + \infty$ hoặc tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) =  - \infty$.

Phương pháp:

- Bước 1: Nhận hoặc chia với biểu thức liên hợp (nếu có căn thức) hoặc quy đồng để đưa về cùng một phân thức.

- Bước 2: Thực hiện tính giới hạn dựa theo các dạng đã biết.