1. Dãy số có giới hạn 0

Định nghĩa: Ta nói dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn $0$ nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Khi đó, ta viết: $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n}} \right) = 0$, viết tắt là $\lim \left( {{u_n}} \right) = 0$ hoặc $\lim {u_n} = 0$.

Một số dãy số có giới hạn $0$ thường gặp:

$\lim \dfrac{1}{n} = 0,\lim \dfrac{1}{{\sqrt n }} = 0,\lim \dfrac{1}{{\sqrt[3]{n}}} = 0,..$

Định lý 1: Cho hai dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ và $\left( {{v_n}} \right)$. Nếu $\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}$ với mọi $n$ và $\lim {v_n} = 0$ thì $\lim {u_n} = 0$.

Định lý 2: Nếu $\left| q \right| < 1$ thì $\lim {q^n} = 0$.

2. Dãy số có giới hạn hữu hạn

Định nghĩa: Ta nói dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn là số thực $L$ nếu $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} - L} \right) = 0$.

Khi đó, ta viết: $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n}} \right) = L$, viết tắt là $\lim \left( {{u_n}} \right) = L$ hoặc $\lim {u_n} = L$.

Định lý 1: Giả sử $\lim {u_n} = L$. Khi đó:

i) $\lim \left| {{u_n}} \right| = \left| L \right|$ và $\lim \sqrt[3]{{{u_n}}} = \sqrt[3]{L}$.

ii) Nếu ${u_n} \ge 0$ với mọi $n$ thì $L \ge 0$ và $\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt L$

Định lý 2: Giả sử $\lim {u_n} = L,\lim {v_n} = M$ và $c$ là một hằng số. Khi đó:

i) Các dãy số $\left( {{u_n} + {v_n}} \right),\left( {{u_n} - {v_n}} \right),\left( {{u_n}.{v_n}} \right)$ và $\left( {c.{u_n}} \right)$ có giới hạn là:

+) $\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = L + M$

+) $\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = L - M$

+) $\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = L.M$

+) $\lim \left( {c.{u_n}} \right) = c.L$

ii) Nếu $M \ne 0$ thì dãy số $\left( {\dfrac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right)$ có giới hạn là $\lim \dfrac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \dfrac{L}{M}$.

3. Dãy số có giới hạn vô cực

Định nghĩa:

a) Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn $+ \infty$ nếu mọi số hạng của dãy số đều lớn hơn một số dương tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Khi đó, ta viết $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n}} \right) =  + \infty$, viết tắt là $\lim \left( {{u_n}} \right) =  + \infty$ hoặc $\lim {u_n} =  + \infty$.

b) Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn $- \infty$ nếu mọi số hạng của dãy số đều nhỏ hơn một số âm tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Khi đó, ta viết $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n}} \right) =  - \infty$, viết tắt là $\lim \left( {{u_n}} \right) =  - \infty$ hoặc $\lim {u_n} =  - \infty$.

Nhận xét:

i) $\lim n = + \infty ,\lim \sqrt n =  + \infty ,$ $\lim \sqrt[3]{n} =  + \infty$

ii) Nếu $\lim {u_n} = - \infty$ thì $\lim \left( { - {u_n}} \right) = + \infty$