1. Giới hạn của hàm số tại một điểm

Hàm số $y = f\left( x \right)$ có giới hạn là số $L$ khi $x$ dần tới ${x_0}$ kí hiệu là $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L$.

Nhận xét: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0},\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c$  với $c$ là hằng số.

Định lý: Giả sử $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M$. Khi đó:

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M$

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = L - M$

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = L.M$

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \dfrac{L}{M}$ với $M \ne 0$

Nếu $f\left( x \right) \ge 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L$ thì $L \ge 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)}  = \sqrt L$.

2. Giới hạn một bên

Số $L$ là:

+ giới hạn bên phải của hàm số $y = f\left( x \right)$ kí hiệu là $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L$

+ giới hạn bên trái của hàm số $y = f\left( x \right)$ kí hiệu là $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L$

Định lý: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L$