Cho nửa đường tròn đường kính (AB=4căn(5) ). Trên đó người ta vẽ một parabol có đỉnh trùng với tâm của nửa hình tròn, trục đối xứng là đường kính vuông góc với AB. Parabol cắt nửa đường tròn tại hia điểm cách nhau 4cm và khoảng cách từ hai điểm đó đến AB bằng nhau và bằng 4cm. Sau đó người ta cắt bỏ phần hình phẳng giới hạn bởi đường tròn và parabol (phần tô màu trong hình vẽ). Đem phần còn lại quay xung quanh trục AB. Thể tích của khối tròn xoay thu được bằng:

Cho hình $\left( H \right)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a,x = b$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( H \right)$ quanh trục $Ox$ là:

Cho hình $\left( H \right)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^3}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0,x = 1$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( H \right)$ quanh trục $Ox$ được tính bởi:

Cho hình $\left( H \right)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $x = f\left( y \right)$ , trục tung và hai đường thẳng $y = a,y = b$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( H \right)$ quanh trục $Oy$ là:

Cho hình $\left( H \right)$ giới hạn bởi đường cong ${y^2} + x = 0$, trục $Oy$ và hai đường thẳng $y = 0,y = 1$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( H \right)$ quanh trục $Oy$ được tính bởi:

Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi $y = \dfrac{1}{3}{x^3} - {x^2}$ và $Ox$.  Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay $\left( H \right)$  quanh $Ox$ bằng :

Kí hiệu $\left( H \right)$  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2\left( {x-1} \right){e^x}$, trục tung và trục hoành. Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay thu được khi quay hình $\left( H \right)$  xung quanh trục $Ox$ .

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {x^2} + 1;x = 0$ và tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = {x^2} + 1$ tại điểm $A\left( {1;2} \right)$ quanh trục $Ox$ là

Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt x ,y = 0$ và $x = 4$ quanh trục $Ox$ . Đường thẳng $x = a(0 < a < 4)$ cắt đồ thị hàm số $y = \sqrt x$ tại $M$ (hình vẽ bên).

Gọi ${V_1}$ là thể tích khối tròn tạo thành khi quay quanh tam giác $OMH$ quanh trục $Ox$. Biết rằng $V = 2{V_1}$ . Khi đó:

Cho hai hàm số $y = {f_1}\left( x \right)$ và $y = {f_2}\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi $S$ là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên và các đường thẳng $x = a,x = b$. Thể tích $V$ của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay $S$ quanh trục $Ox$ được tính bởi công thức nào sau đây ? 

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường  $y = \sqrt {2 - x} ;y = x$ xung quanh trục $Ox$ được tính theo công thức nào sau đây?

Cho vật thể $V$ được giới hạn bởi hai mặt phẳng $x = a$ và $x = b\left( {a < b} \right)$, mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ cắt $V$ theo thiết diện $S\left( x \right)$. Thể tích của $V$ được tính bởi:

Cho vật thể $V$ được giới hạn bởi hai mặt phẳng $x = 0$ và $x =  - 2$, mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ cắt $V$ theo thiết diện $S\left( x \right) = 2{x^2}$. Thể tích của $V$ được tính bởi:

Tính thể tích $V$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x = 1$ và $x = 3$, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($1 \le x \le 3$) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là $3x$ và $\sqrt {3{x^2} - 2}$.

Cho hình phẳng giới hạn bởi $D = \left\{ {y = \tan x;\,\,y = 0;\,\,x = 0;\,\,x = \dfrac{\pi }{3}} \right\}.$ Thể tích vật tròn xoay khi $D$ quay quanh trục $Ox$ là $V = \pi \left( {a - \dfrac{\pi }{b}} \right),$ với $a,\,\,b \in R.$ Tính $T = {a^2} + 2b.$

Tính thể tích khi $S = \left\{ {y = {x^2} - 4x + 6;\,\,y =  - \,{x^2} - 2x + 6} \right\}$ quay quanh trục $Ox.$

Thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh $Ox$ của hình giới hạn bởi trục $Ox$ và parabol $\left( P \right):y = {x^2} - ax\,\,\,\,\left( {a > 0} \right)$ bằng $V = 2.$ Khẳng định nào dưới đây đúng ?

Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường $y =  - \,{x^2} + 2x$ và $y = 0$. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình $\left( H \right)$ quanh trục $Oy$ là

Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$ quay quanh $Oy\,\,?$

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị $y =  - \,\sqrt {4 - {x^2}} ,\,\,{x^2} + 3y = 0$ quay quanh trục $Ox$ là $V = \dfrac{{a\pi \sqrt 3 }}{b},$ với $a,\,\,b > 0$ và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính tổng $T = a + b.$

Gọi $\left( {{D_1}} \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 2\sqrt x ,\,\,y = 0$  và $x = 2020,$ $\left( {{D_2}} \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt {3 x},\,\,y = 0$ và $x = 2020.$ Gọi ${V_1},\,\,{V_2}$ lần lượt là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( {{D_1}} \right)$  và $\left( {{D_2}} \right)$ xung quanh trục $Ox.$ Tỉ số $\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}$ bằng:

Tính thể tích hình xuyến do quay hình tròn  có phương trình ${x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1$ khi quanh trục $Ox.$

Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x}$, $y=-\,x$ và $x=4.$ Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình $\left( H \right)$ quanh trục hoành là $V=\dfrac{a\pi }{b},$ với $a,\,\,b>0$ và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính tổng $T=a+b.$

Một thùng rượu có bán kính các đáy là $30\;{\rm{cm}}$, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính là $40\;{\rm{cm}}$, chiều cao thùng rượu là $1\;{\rm{m}}$. Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu là bao nhiêu?

Cho $\left( H \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt x$ và $y = {x^2}.$ Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình $\left( H \right)$ quanh trục $Ox$ bằng