Trong không gian Oxyz, cho vật thể được giới hạn bởi 2 mặt phẳng ((P), , ,(Q) ) vuông góc với Ox lần lượt tại (x = a, , ,x = b, , ,(a < b) ). Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x, ((a <= x <= b) ) cắt vật thể theo thiết diện có diện tích là (S(x) ), với (y = S(x) ) là hàm số liên tục trên ([ (a;b) ] ). Thể tích V của vật thế đó được tính theo công thức:

Cho hình $\left( H \right)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a,x = b$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( H \right)$ quanh trục $Ox$ là:

Cho hình $\left( H \right)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^3}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0,x = 1$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( H \right)$ quanh trục $Ox$ được tính bởi:

Cho hình $\left( H \right)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $x = f\left( y \right)$ , trục tung và hai đường thẳng $y = a,y = b$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( H \right)$ quanh trục $Oy$ là:

Cho hình $\left( H \right)$ giới hạn bởi đường cong ${y^2} + x = 0$, trục $Oy$ và hai đường thẳng $y = 0,y = 1$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( H \right)$ quanh trục $Oy$ được tính bởi:

Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi $y = \dfrac{1}{3}{x^3} - {x^2}$ và $Ox$.  Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay $\left( H \right)$  quanh $Ox$ bằng :

Kí hiệu $\left( H \right)$  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2\left( {x-1} \right){e^x}$, trục tung và trục hoành. Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay thu được khi quay hình $\left( H \right)$  xung quanh trục $Ox$ .

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {x^2} + 1;x = 0$ và tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = {x^2} + 1$ tại điểm $A\left( {1;2} \right)$ quanh trục $Ox$ là

Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt x ,y = 0$ và $x = 4$ quanh trục $Ox$ . Đường thẳng $x = a(0 < a < 4)$ cắt đồ thị hàm số $y = \sqrt x$ tại $M$ (hình vẽ bên).

Gọi ${V_1}$ là thể tích khối tròn tạo thành khi quay quanh tam giác $OMH$ quanh trục $Ox$. Biết rằng $V = 2{V_1}$ . Khi đó:

Cho hai hàm số $y = {f_1}\left( x \right)$ và $y = {f_2}\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi $S$ là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên và các đường thẳng $x = a,x = b$. Thể tích $V$ của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay $S$ quanh trục $Ox$ được tính bởi công thức nào sau đây ? 

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường  $y = \sqrt {2 - x} ;y = x$ xung quanh trục $Ox$ được tính theo công thức nào sau đây?

Cho vật thể $V$ được giới hạn bởi hai mặt phẳng $x = a$ và $x = b\left( {a < b} \right)$, mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ cắt $V$ theo thiết diện $S\left( x \right)$. Thể tích của $V$ được tính bởi:

Cho vật thể $V$ được giới hạn bởi hai mặt phẳng $x = 0$ và $x =  - 2$, mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ cắt $V$ theo thiết diện $S\left( x \right) = 2{x^2}$. Thể tích của $V$ được tính bởi:

Tính thể tích $V$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x = 1$ và $x = 3$, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($1 \le x \le 3$) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là $3x$ và $\sqrt {3{x^2} - 2}$.

Cho hình phẳng giới hạn bởi $D = \left\{ {y = \tan x;\,\,y = 0;\,\,x = 0;\,\,x = \dfrac{\pi }{3}} \right\}.$ Thể tích vật tròn xoay khi $D$ quay quanh trục $Ox$ là $V = \pi \left( {a - \dfrac{\pi }{b}} \right),$ với $a,\,\,b \in R.$ Tính $T = {a^2} + 2b.$

Tính thể tích khi $S = \left\{ {y = {x^2} - 4x + 6;\,\,y =  - \,{x^2} - 2x + 6} \right\}$ quay quanh trục $Ox.$

Thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh $Ox$ của hình giới hạn bởi trục $Ox$ và parabol $\left( P \right):y = {x^2} - ax\,\,\,\,\left( {a > 0} \right)$ bằng $V = 2.$ Khẳng định nào dưới đây đúng ?

Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường $y =  - \,{x^2} + 2x$ và $y = 0$. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình $\left( H \right)$ quanh trục $Oy$ là

Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$ quay quanh $Oy\,\,?$

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị $y =  - \,\sqrt {4 - {x^2}} ,\,\,{x^2} + 3y = 0$ quay quanh trục $Ox$ là $V = \dfrac{{a\pi \sqrt 3 }}{b},$ với $a,\,\,b > 0$ và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính tổng $T = a + b.$

Gọi $\left( {{D_1}} \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 2\sqrt x ,\,\,y = 0$  và $x = 2020,$ $\left( {{D_2}} \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt {3 x},\,\,y = 0$ và $x = 2020.$ Gọi ${V_1},\,\,{V_2}$ lần lượt là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( {{D_1}} \right)$  và $\left( {{D_2}} \right)$ xung quanh trục $Ox.$ Tỉ số $\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}$ bằng:

Tính thể tích hình xuyến do quay hình tròn  có phương trình ${x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1$ khi quanh trục $Ox.$

Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x}$, $y=-\,x$ và $x=4.$ Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình $\left( H \right)$ quanh trục hoành là $V=\dfrac{a\pi }{b},$ với $a,\,\,b>0$ và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính tổng $T=a+b.$

Một thùng rượu có bán kính các đáy là $30\;{\rm{cm}}$, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính là $40\;{\rm{cm}}$, chiều cao thùng rượu là $1\;{\rm{m}}$. Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu là bao nhiêu?

Cho $\left( H \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt x$ và $y = {x^2}.$ Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình $\left( H \right)$ quanh trục $Ox$ bằng