Cho tích phân I = _a^b (f( x ).g'( x )( rm(d))x) , nếu đặt ( u = f( x ) ( rm(d))v = g'( x )( rm(d))x right. thì 

Cho tích phân $I = \int\limits_a^b {f\left( x \right).g'\left( x \right){\rm{d}}x} ,$ nếu đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\{\rm{d}}v = g'\left( x \right){\rm{d}}x\end{array} \right.$ thì 

Để tính $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{x^2}\,\cos x\,{\rm{d}}x} $ theo phương pháp tích phân từng phần, ta đặt

Cho $f\left( x \right),\,\,g\left( x \right)$ là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$ và thỏa mãn điều kiện $\int\limits_0^1 {g\left( x \right).f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = 1,\int\limits_0^1 {g'\left( x \right).f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 2.$ Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {{{\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]}^\prime }\,{\rm{d}}x} .$

Cho $F\left( x \right) = {x^2}$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right){e^{2x}}$ và $f\left( x \right)$ là hàm số thỏa mãn điều kiện $f\left( 0 \right) =  0,\,\,f\left( 1 \right) = \dfrac{2}{e^2}.$ Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {f'\left( x \right){e^{2x}}{\rm{d}}x} .$

Cho tích phân $I = \int\limits_1^2 {\dfrac{{x + \ln x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}{\rm{d}}x}  = a + b.\ln 2 - c.\ln 3$ với $a,b,c \in R$, tỉ số $\dfrac{c}{a}$ bằng

Tích phân:  $I = \int\limits_1^e {2x(1 - \ln x)\,dx} $bằng

Tính tích phân $I = \int\limits_1^e {x\ln x{\rm{d}}x} $

Tính tích phân \(I = \int\limits_1^{{2^{1000}}} {\dfrac{{\ln x}}{{{{(x + 1)}^2}}}dx} \)

Biết rằng$\int {{e^{2x}}\cos 3xdx = {e^{2x}}\left( {a\cos 3x + b\sin 3x} \right) + c} $, trong đó $a, b, c$ là các hằng số, khi đó tổng $a + b$ có giá trị là:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)  thỏa mãn \(\int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)dx}  = 10\)  và \(2f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 2\). Tính \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \)

Cho hàm số \(y = f(x)\)thỏa mãn hệ thức \(\int {f\left( x \right)\sin xdx}  =  - f(x).\cos x + \int {{\pi ^x}\cos xdx}. \) Hỏi \(y = f\left( x \right)\) là hàm số nào trong các hàm số sau: 

Biết rằng \(\int\limits_0^1 {x\cos 2xdx}  = \dfrac{1}{4}\left( {a\sin 2 + b\cos 2 + c} \right)\) với \(a,b,c \in Z\). Mệnh đề nào sau đây là đúng

Cho tích phân $I = \int\limits_0^\pi  {{x^2}\cos xdx} $ và $u = {x^2};dv = \cos xdx$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Giả sử tích phân \(I = \int\limits_0^4 {x\ln {{\left( {2x + 1} \right)}^{2017}}dx = a + \dfrac{b}{c}\ln 3.} \)  Với phân số  \(\dfrac{b}{c}\) tối giản. Lúc đó :

Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ sao cho \(n\ln n - \int_1^n {\ln xdx} \) có giá trị không vượt quá $2017$

Biết \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {x.c{\rm{os}}2xdx}  = a + b\pi \), với \(a,b\) là các số hữu tỉ. Tính \(S = a + 2b\).     

Biết tích phân \(I = \int\limits_0^1 {x{e^{2x}}dx}  = a{e^2} + b\) ($a,b$ là các số hữu tỉ). Khi đó tổng \(a + b\) là:

Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\sin x} \). Gọi \(a,b\) là các số nguyên thỏa mãn \(I = \dfrac{{{e^{\dfrac{\pi }{2}}} + a}}{b}\). Chọn kết luận đúng:

Cho \(I = \int\limits_0^1 {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 15} } \right)dx}  = a + b\ln 3 + c\ln 5\) với \(a,b,c \in \mathbb{Q}\). Tính tổng \(a + b + c\).

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn và liên tục trên \(\left[ { - 1;1} \right]\) thỏa mãn: \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx}  = \dfrac{{86}}{{15}}\) và \(f\left( 1 \right) = 5\). Khi đó \(\int\limits_0^1 {xf'\left( x \right)dx} \) bằng:

Nếu \(\int\limits_0^\pi  {f\left( x \right)\sin xdx}  = 20\), \(\int\limits_0^\pi  {xf'\left( x \right)\sin xdx}  = 5\) thì \(\int\limits_0^{{\pi ^2}} {f\left( {\sqrt x } \right)\cos \left( {\sqrt x } \right)dx} \) bằng:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\), thỏa mãn \(f\left( {4 - x} \right) = f\left( x \right),\forall x \in \left[ {1;3} \right]\) và \(\int\limits_1^3 {xf\left( x \right)dx =  - 2} \). Giá trị \(2\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} \) bằng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 2\) và \(f'\left( x \right) = x\sin x\). Giả sử rằng \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x.f\left( x \right)dx}  = \dfrac{a}{b} - \dfrac{{{\pi ^2}}}{c}\) (với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên dương, \(\dfrac{a}{b}\) tối giản). Khi đó \(a + b + c\) bằng:

Cho tích phân $I = \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\ln \left( {3\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\sin }^2}x}}{\rm{d}}x}  = m.\ln \sqrt 2  + n.\ln 3 - \dfrac{\pi }{4}$, tổng $m + n$

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( 2 \right) = 0\) và \(f'\left( x \right) = \dfrac{{x + 7}}{{\sqrt {2x - 3} }}\), \(\forall x \in \left( {\dfrac{3}{2}; + \infty } \right)\) . Biết rằng \(\int\limits_4^7 {f\left( {\dfrac{x}{2}} \right)dx}  = \dfrac{a}{b}\) (\(a,\,\,b \in \mathbb{Z}\), \(b > 0\), \(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản). Khi đó \(a + b\) bằng:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( { - \dfrac{1}{2};2} \right)\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = 2\), \(\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx}  = 12 - 16\ln 2\), \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx}  = 4\ln 2 - 2\). Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \).

Cho tích phân $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x}  = \dfrac{{m - \pi }}{{m + \pi }}$, giá trị của $m$ bằng :

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện \(x.f\left( {{x^3}} \right) + f\left( {{x^2} - 1} \right) = {e^{{x^2}}}\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó giá trị của \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} \) là:

Cho \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( 2 \right) = 1\), \(\int\limits_0^1 {f\left( {2x} \right)dx = 2} \). Tích phân \(\int\limits_0^2 {xf'\left( x \right)dx} \) bằng