Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là ¯abcd(a≠0).
Để một số chia hết cho 15 thì số đó phải chia hết cho 3 và cho 5.
⇒d∈{0;5}.
TH1: d=0, số cần tìm có dạng ¯abc0.
Để số cần tìm chia hết cho 3 thì a+b+c⋮3.
Ta có các nhóm: {9≡0(mod3){1;4;7}≡1(mod3){2;5;8}≡2(mod3)
+) a,b,c≡1(mod3)⇒a,b,c∈{1;4;7}.
⇒ Có 3! cách chọn.
+) a,b,c≡2(mod3)⇒a,b,c∈{2;5;8}.
⇒ Có 3! cách chọn.
+) Trong 3 số a,b,c có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.
⇒ Có 1.C13.C13.3! cách chọn.
⇒ Có 3!+3!+1.C13.C13.3!=66 số.
TH2: d=5, số cần tìm có dạng ¯abc5.
Để số cần tìm chia hết cho 3 thì a+b+c+5⋮3, trong đó 5≡2(mod3).
Ta có các nhóm: {{0;9}≡0(mod3){1;4;7}≡1(mod3){2;8}≡2(mod3)
+) Trong 3 số a,b,c có 2 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1.
- Ta chọn số chia hết cho 3 trước: Có 1 cách chọn. Chọn tiếp số chia cho 3 dư 1, có C13 cách chọn. Sắp xếp các số này có 3! cách. Theo quy tắc nhân có: C13.3! cách chọn.
Trong các cách chọn này có số có chữ số 0 ở đầu nên ta phải trừ đi các cách chọn a,b,c có a=0, ta cần tìm ¯bc:
Chọn số chia hết cho 3 có 1 cách, chọn số chia 3 dư 1 có C13 cách. Sắp xếp hai số này có 2! cách. Số cách chọn ¯bc là C13.2!
⇒ Có C13.3!−C13.2!=12 cách chọn.
+) Trong 3 số a,b,c có 1 số chia hết cho 3, 2 số chia 3 dư 3.
⇒ Có C12.3!−2!=10 cách chọn.
+) Trong 3 số a,b,c có 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.
⇒ Có C23.C12.3!=36 cách chọn.
Vậy có tất cả 66+12+10+36=124 số thỏa mãn.